核心结论：因公外出驾驶私家车独自出车祸的责任认定，需结合事故发生时的具体情况、交通法规以及单位与员工之间的约定综合判断，以下分情况说明：

1. 交通事故责任划分
   根据《道路交通安全法》，交通事故责任由交警部门根据事故现场勘查、证人证言、监控录像等证据，按照过错原则划分。若您在驾驶过程中存在违反交通规则的行为（如超速、闯红灯、未保持安全距离等），则需承担相应比例的责任；若对方存在过错（如违规变道、酒驾等），则对方需承担责任。关键点：责任划分与是否因公外出无关，仅取决于事故发生时的具体行为。

2. 单位责任认定
   若单位明确要求或允许员工使用私家车因公外出，且未提供交通补贴或明确排除单位责任，则单位可能需承担部分责任。具体包括：

   • 雇主责任：根据《民法典》第1191条，用人单位的工作人员因执行工作任务造成他人损害的，由用人单位承担侵权责任。但若您因故意或重大过失导致事故，单位可向您追偿。
     
   • 合同约定：若单位与员工签订的劳动合同或规章制度中明确约定“因公使用私家车发生事故由员工自行承担”，则单位可能免责，但该条款需符合法律规定且已向员工公示。
     
   • 补偿义务：即使单位无直接责任，基于公平原则或内部规定，可能需对员工进行适当补偿（如医疗费、误工费等）。

3. 保险理赔问题

   • 交强险与商业险：若您驾驶的私家车投保了交强险和商业三者险，保险公司需在责任范围内赔偿第三方损失。但若事故属于免责范围（如酒驾、无证驾驶等），保险公司可能拒赔。
     
   • 车上人员责任险：若您投保了车上人员责任险，可申请赔偿自身伤亡损失；若未投保，则需自行承担或通过工伤保险（若符合工伤条件）救济。
     
   • 单位补充保险：若单位为员工购买了补充商业保险（如雇主责任险），可按合同约定申请理赔。

4. 工伤认定可能性
   根据《工伤保险条例》第14条，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害的，应认定为工伤。关键点：

   • “工作时间”包括因公外出的合理时间；
     
   • “工作场所”可扩展至因公外出的目的地或途中；
     
   • 若事故与工作无关（如私自绕道办私事），则不认定为工伤。
     建议：发生事故后，应及时向单位报告并申请工伤认定，同时保留事故现场证据（如交警责任认定书、医疗记录等）。

行动建议：

1. 立即报警并配合交警调查，获取事故责任认定书；
   
2. 通知单位并保留因公外出的证据（如出差审批单、任务指令等）；
   
3. 联系保险公司报案并提交理赔材料；
   
4. 若涉及工伤，在30日内向社保部门申请工伤认定；
   
5. 咨询专业律师，结合具体案情制定维权策略。
   

如有进一步疑问，可直接向我提问，我将结合具体案情为您提供详细解答。