结论：孩子长大后，若母亲当年的遗弃行为情节恶劣且在追诉期内，是可以起诉母亲构成遗弃罪的；同时，从民事角度，孩子也有权主张因遗弃产生的生活、医疗等费用的赔偿，但需注意诉讼时效的限制。
一、刑事角度：遗弃罪的起诉
遗弃罪的构成：
- 遗弃罪是指对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人，负有扶养义务而拒绝扶养，情节恶劣的行为。
- 在您描述的情况中，母亲抛弃两岁孩子离家出走，若该行为导致孩子生活无着、流离失所，或者造成其他严重后果，如孩子因缺乏照顾而受伤或患病等，则可能构成遗弃罪。
起诉的可能性：
- 遗弃罪属于刑事犯罪，受害人（或其法定代理人、近亲属）有权向法院提起刑事自诉，要求追究遗弃方的刑事责任。
- 需要注意的是，遗弃罪的追诉期是有限的。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，法定最高刑为不满五年有期徒刑的，追诉期为五年。但遗弃罪若导致严重后果，如孩子死亡，则追诉期可能延长至二十年。不过，具体追诉期还需根据案件具体情况和法律规定来判断。
证据收集：
- 主张权利时，需提供能证明遗弃事实的相关证据，如出生证明、证人证言、相关机构记录（如儿童福利机构、派出所的接警记录等）。
二、民事角度：赔偿的主张
赔偿的范围：
- 从民事角度，孩子在被遗弃期间若因生活、医疗、教育等产生费用，可主张赔偿。
- 这些费用可能包括但不限于：生活费、医疗费、教育费等。
诉讼时效的限制：
- 民事权利受诉讼时效限制，一般为三年。即自权利受到损害之日起三年内，受害人有权向法院提起诉讼要求赔偿。
- 不过，自权利受到损害之日起超过二十年的，法院一般不予保护。但若涉及持续遗弃行为或有特殊情况，如受害人当时为未成年人且无法独立主张权利等，可申请延长诉讼时效。
赔偿的请求方式：
- 孩子可通过其法定代理人（如其他亲属或监护人）向法院提起民事诉讼，要求母亲赔偿因遗弃产生的相关费用。
三、实际操作建议
- 收集证据：首先，应尽可能收集能证明母亲遗弃行为的证据，如出生证明、证人证言、相关机构记录等。
- 咨询律师：在起诉前，建议咨询专业律师，了解具体的法律程序和可能面临的法律风险。
- 提起诉讼：在证据充分且诉讼时效未过期的情况下，可向法院提起刑事自诉或民事诉讼，要求追究母亲的刑事责任或民事赔偿责任。
最后，需要强调的是，每个案件的具体情况都有所不同，法律适用也可能因地区、时间等因素而有所差异。因此，在处理此类问题时，建议直接向我咨询，以便获得更具体、更准确的法律建议。