事业单位对精神疾病患者能否不续聘，需根据具体情况综合判断，不能一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、法律法规的明确规定
医疗期保护：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的劳动者，用人单位不得依照本法第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这意味着，在医疗期内，事业单位不得随意不续聘或辞退精神疾病患者。
医疗期满后的处理：
- 医疗期满后，若精神疾病患者仍不能从事原工作，也不能从事由单位另行安排的工作，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十条的规定，用人单位在提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同。但这一规定同样需要排除该法第四十二条所规定的特殊情形，即医疗期内的保护。
二、具体情形的考量
入职前与入职后：
- 若精神疾病患者在入职前隐瞒病史，属于欺诈行为，合同可能无效，单位可随时解除聘用合同。但这一情形需有充分证据证明患者的隐瞒行为。
- 若患者在入职后患有精神疾病，且经过治疗已经痊愈，但医疗期满后不能从事原工作也不能从事由聘用单位安排的其他工作的，单位在提前通知并支付经济补偿的情况下，可以解除聘用合同。
病情严重程度：
- 对于病情严重、可能丧失劳动能力的精神疾病患者，应进行劳动能力鉴定。根据鉴定结果，若患者确实无法从事任何工作，单位可能需按照相关规定处理，如退出劳动岗位、终止劳动关系等，但同样需确保程序合法、公正、透明。
三、程序合法性与权益保障
程序合法性：
- 事业单位在决定不续聘或辞退精神疾病患者时，必须遵循法定程序，包括但不限于劳动能力鉴定、提前通知、支付经济补偿等环节。任何违反法定程序的行为都可能构成违法解除，需要承担相应的法律责任。
权益保障：
- 在整个过程中，事业单位应充分保障精神疾病患者的合法权益，包括但不限于知情权、参与权、申诉权等。同时，单位还应关注患者的人权和尊严，不得歧视、侮辱或虐待他们。
四、建议与措施
完善入职手续：
- 为避免后续可能出现的纠纷，建议事业单位在员工入职时就完善相关手续，明确双方的权利和义务。这包括但不限于对职工健康状况的了解、记录以及相应的工作安排和调整机制等。
加强沟通与协商：
- 在决定不续聘或辞退精神疾病患者前，单位应与患者进行充分的沟通与协商，了解他们的实际情况和需求。通过协商，双方可能达成更为合理的解决方案，减少纠纷和冲突。
寻求法律支持：
- 若在处理过程中遇到任何法律问题或争议，建议事业单位及时咨询专业律师或相关法律机构以获取准确的法律意见和帮助。作为专业律师，我可以提供婚姻家庭、劳动纠纷、经济纠纷等领域的法律咨询和服务，如有需要可以直接向我提问。
综上所述，事业单位对精神疾病患者能否不续聘需根据具体情况综合判断，并严格遵循法律法规和程序要求。在任何情况下，都应确保患者的合法权益得到充分保障。