结论前置：

1. 在医疗期内，公司通常不能辞退因脑梗住院请假的员工。
2. 医疗期满后，若员工无法胜任原工作或新安排的工作，公司需依法提前通知并支付经济补偿后才能解除劳动合同。

详细分析：

一、医疗期内的权益保障

根据《企业职工患病或非因工负伤医疗期规定》，员工因脑梗（属于患病范畴）需要停止工作医疗时，根据本人实际参加工作年限和在本单位工作年限，可享受三个月到二十四个月的医疗期。在医疗期内，公司不得随意解除劳动合同，这是法律对员工在患病期间的一种特殊保护。同时，公司应按病假工资标准支付员工工资，该标准可咨询参保地社保局或参考当地相关政策，但不得低于最低工资标准的80%。

二、医疗期满后的处理

若医疗期满后，员工身体状况仍然影响工作能力，无法继续原工作，公司应安排劳动能力鉴定。根据鉴定结果，如果员工确实无法胜任原工作，公司也不能直接辞退，而是需要为员工重新安排合适的工作岗位。如果重新安排后员工仍然不能适应新工作，公司应当依法提前三十天以内以书面方式正式通知到该名员工，或是在额外支付这位员工一个整月工资的条件之下，方可依法解除劳动合同关系。

三、经济补偿的支付

在上述情况下解除劳动合同时，公司还须为员工支付相应的经济补偿。经济补偿的金额应根据员工在该用人单位中的实际工作年限来决定。每当达到一个完整的年度，就需向该员工发放相当于一个月工资数额标准的经济补偿金。如果员工的雇佣时间超过了半年但不足一年，则视同一年，计算标准为一年；若雇佣时间低于半年，则仅需向该员工支付半个月工资作为经济补偿。

四、公司违法解除的风险

如果公司在员工医疗期内或未履行法定程序（如提前通知、安排劳动能力鉴定等）的情况下解除劳动合同，将构成违法解除。员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付赔偿金（经济补偿标准的两倍）。

五、员工应对措施

1. 与公司沟通协商：员工应首先与公司人力资源部门或上级领导沟通，明确自己的病假权益、应得工资及工作安排。双方可探讨灵活工作方式，如居家远程办公、使用带薪年休假或企业自设福利假等。
2. 收集证据与法律援助：员工应收集与工作年限、劳动合同、病假条、工资发放记录、公司解除劳动合同通知等相关证据。如协商无果，可向当地劳动监察部门投诉或提起劳动仲裁、诉讼，维护自身合法权益。

总结与建议：

员工因脑梗住院请假时间长，公司通常不能随意辞退。在医疗期内，员工应依法享受医疗期待遇，并有权在医疗期内保留工作岗位和获得病假工资。医疗期满后，若员工无法继续原工作，公司需按法律规定进行劳动能力鉴定，并依据鉴定结果采取相应措施。员工在面对公司不当行为时，应积极维护自己的合法权益，必要时寻求法律援助。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。