结论：老板生病去世后，谁负责支付工资取决于老板的经营形式以及是否签订了劳动合同等因素。一般来说，若老板为个体工商户且无继承人继续经营，则可能面临无法追讨工资的风险；若老板为公司法人代表，则公司应继续支付工资。
详细分析：
老板为个体工商户的情况：
- 如果老板是以个体工商户的形式经营，并且没有签订劳动合同，那么当老板去世后，其债务（包括工资）的清偿将依赖于其遗产。
- 若老板有继承人，并且继承人选择继续经营该个体工商户，那么工资问题可能通过与继承人协商解决。
- 若老板没有继承人，或者继承人选择不继承并放弃经营，那么由于个体工商户不具备独立法人资格，其债务可能无法得到清偿，员工可能面临无法追讨工资的风险。但在此情况下，员工仍可以尝试通过法律途径，如向法院申请宣告老板破产并参与破产财产分配（如果存在可分配财产的话），来尽量维护自己的权益。不过，实际操作中，个体工商户的破产财产往往有限，可能难以完全清偿所有债务。
老板为公司法人代表的情况：
- 如果老板是公司的法人代表，那么公司作为独立法人，应继续承担支付工资的责任。
- 老板的去世不影响公司的法人地位，公司应继续按照劳动合同的约定支付员工工资。
- 若公司因老板去世而陷入经营困境，员工可以依法向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，要求公司支付拖欠的工资。
法律建议：
- 对于员工而言，无论老板是哪种经营形式，都应尽量与老板或公司签订书面劳动合同，以明确双方的权利和义务。
- 在老板去世后，员工应及时了解老板的经营形式和遗产情况，以便采取相应的法律措施维护自己的权益。
- 若遇到工资拖欠问题，员工可以首先尝试与老板的继承人或公司协商解决；若协商无果，则可以依法向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。
可能后果：
- 若员工未能及时采取法律措施维护自己的权益，可能会面临工资无法追讨的风险。
- 在某些情况下，员工可能还需要通过法律诉讼来追讨工资，这将耗费一定的时间和精力。
因此，建议员工在遇到此类问题时，及时咨询专业律师（比如我，宋天唱律师，就擅长处理劳动工伤等领域的法律问题），以便更好地维护自己的合法权益。