当遇到员工偷拿店里送客户的礼品这一情况时，公司需要采取一系列严谨且合法的措施来处理。以下是一个详细的处理流程：

一、立即展开调查并固定证据

1. 调取监控视频：首先，应迅速调取店内相关区域的监控视频，特别是员工可能接触礼品的区域和时间段，以获取直接的视觉证据。

2. 收集物品丢失记录：详细记录丢失礼品的名称、数量、价值以及丢失时间等信息。这些信息将有助于明确员工偷拿行为的真实性和具体情况。

3. 询问相关人员：与可能目击或了解事件经过的员工或顾客进行沟通，收集他们的证言，以进一步佐证或反驳员工的辩解。

二、根据礼品价值进行分类处理

1. 价值较小，未达刑事立案标准：

   • 依据内部规章制度处理：如果公司有针对此类行为的明确处罚规定，如警告、罚款、解除劳动合同等，且这些规定合法合规且已向员工公示，那么可以按照这些规定执行。
   • 要求返还财物并赔偿损失：即使不构成犯罪，也应要求员工返还偷拿的礼品，并赔偿因礼品丢失而给公司造成的损失。
   • 报警处理：虽然不构成犯罪，但可以向公安机关报案，公安机关可依据《治安管理处罚法》对员工进行拘留、罚款等处罚。

2. 价值较大，达到盗窃罪立案标准：

   • 及时报警：一旦确认礼品价值达到当地盗窃罪的立案标准，应立即向公安机关报案，并积极配合公安机关的调查工作。
   • 追究刑事责任：如果罪名成立，员工将面临拘役、管制、有期徒刑等刑罚，并处罚金或没收财产。
   • 刑事附带民事诉讼：公司还可以通过刑事附带民事诉讼的方式，要求员工赔偿因礼品丢失而给公司造成的损失。

三、做好顾客安抚和赔偿工作

1. 安抚顾客情绪：对于因礼品丢失而可能受到影响的顾客，公司应主动进行沟通，解释情况，并表达歉意。

2. 妥善处理赔偿事宜：根据顾客的损失情况，公司应提供相应的赔偿方案，如补发礼品、提供折扣或优惠券等，以尽可能减少对顾客的影响。

四、总结教训并完善内部管理

1. 总结事件教训：公司应深入分析此次事件的原因和教训，找出内部管理中的漏洞和不足。

2. 完善内部管理和监督机制：针对发现的问题，公司应完善内部管理制度和监督机制，如加强员工培训、提高监控设备的覆盖率、建立更严格的礼品管理制度等。

3. 加强员工教育和监管：通过定期的培训和教育活动，提高员工的法律意识和职业道德水平。同时，加强对员工日常行为的监管，及时发现并纠正不当行为。

综上所述，处理员工偷拿店里送客户的礼品这一问题需要公司采取一系列严谨且合法的措施。通过立即展开调查并固定证据、根据礼品价值进行分类处理、做好顾客安抚和赔偿工作以及总结教训并完善内部管理，公司可以有效地应对此类事件，并维护自身的声誉和利益。