结论是，狗死了对方不愿赔偿时，打官司的费用一般由原告方先行垫付，最终根据法院判决来确定由谁承担。以下是对此问题的详细分析：
一、诉讼费用的承担原则
在民事诉讼中，诉讼费用通常由原告方先行垫付。这是基于诉讼程序的一般规则，即原告在提起诉讼时，需要承担一定的诉讼风险，包括诉讼费用的支付。然而，这并不意味着诉讼费用最终一定由原告承担。法院在判决时，会根据案件的具体情况，包括双方的责任大小、过错程度等因素，来决定诉讼费用的最终承担者。
二、动物侵权案件中的诉讼费用承担
在动物侵权案件中，如果狗的死亡是由于对方的过错或违法行为导致的，那么对方应当承担相应的赔偿责任。这包括直接的经济损失（如狗的购买价格、治疗费用等）以及可能的诉讼费用。然而，在实际操作中，诉讼费用的承担往往需要根据法院的判决来确定。
如果法院判决对方承担赔偿责任：那么对方不仅需要赔偿狗的死亡所带来的直接经济损失，还可能需要承担部分或全部诉讼费用。这取决于法院对双方责任大小的认定以及诉讼费用分担的判决。
如果法院判决对方不承担赔偿责任：或者认为双方都有一定责任，那么诉讼费用可能会由双方分担，或者由原告方自行承担。这同样取决于法院的具体判决。
三、诉讼费用的具体构成与计算
诉讼费用通常包括案件受理费、申请费以及其他相关费用（如鉴定费、翻译费等）。在动物侵权案件中，主要涉及的是案件受理费。案件受理费的数额根据案件的性质、标的额大小等因素来确定。一般来说，标的额越大，案件受理费也越高。
四、建议与注意事项
收集证据：在提起诉讼前，务必收集充分的证据来证明对方的过错或违法行为，以及狗死亡与对方行为之间的因果关系。这有助于在诉讼中争取更有利的判决结果。
咨询专业律师：虽然我作为范海龙律师可以为你提供法律咨询，但在具体案件中，还是建议你咨询当地的专业律师，以便更准确地了解诉讼费用的承担情况以及诉讼策略。
考虑调解或和解：在诉讼前或诉讼过程中，你可以考虑与对方进行调解或和解。如果双方能够达成一致意见，那么可以避免漫长的诉讼过程以及可能的诉讼费用支出。
关注诉讼时效：请注意诉讼时效的问题。根据法律规定，民事权利受到侵害后，需要在一定的期限内提起诉讼。否则，可能会丧失胜诉权。
如果你在此类案件中有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。