结论前置：针对您提出的国庆节和中秋节私人单位不给放假也不给双倍工资的问题，您可以采取以下措施来维护自己的合法权益：1.与单位协商；2.向劳动监察部门投诉；3.申请劳动仲裁；4.提起诉讼。
详细分析
与单位协商：
- 首先，您可以尝试与单位进行友好协商，明确表达您对于节假日加班工资的诉求。根据《中华人民共和国劳动法》的相关规定，用人单位在法定节假日安排劳动者工作的，应当支付不低于工资的百分之三百的工资报酬。如果单位拒绝支付，您可以引用法律条文进行说服。
向劳动监察部门投诉：
- 如果协商无果，您可以向当地的劳动监察部门投诉。劳动监察部门是负责监督用人单位遵守劳动法律法规的机构，他们有权对违法行为进行调查并作出处理。在投诉时，您需要提供相关证据，如加班记录、工资单等，以证明单位未支付法定节假日加班工资的事实。
申请劳动仲裁：
- 如果劳动监察部门未能解决问题，或者您对处理结果不满意，您可以向劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁。劳动仲裁是一种法律程序，用于解决劳动争议。在申请仲裁时，您需要提交仲裁申请书和相关证据材料。仲裁委员会将依法进行审理，并作出裁决。如果裁决支持您的诉求，单位应当履行裁决义务。
提起诉讼：
- 如果劳动仲裁未能解决问题，或者您对仲裁裁决不满意，您可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，您需要提交起诉状和相关证据材料。法院将依法进行审理，并作出判决。如果判决支持您的诉求，单位应当履行判决义务。否则，您有权申请强制执行。
注意事项
- 在采取上述措施时，请务必保留好相关证据材料，如加班记录、工资单、与单位协商的记录等。这些证据材料将有助于您证明自己的诉求是合理的。
- 同时，请注意法律程序的时效性。例如，劳动仲裁的申请时效通常为一年，从您知道或者应当知道自己的权益被侵害之日起计算。因此，请务必在规定的时间内采取行动。
可能的法律后果
- 如果单位被认定存在违法行为，除了需要支付您应得的法定节假日加班工资外，还可能面临劳动监察部门的处罚，如罚款等。
- 如果单位拒不履行生效的法律文书（如仲裁裁决或法院判决），您有权申请强制执行，法院将采取措施强制单位履行义务。
建议您：在采取任何行动之前，先咨询我以获取更具体的法律建议。我可以根据您的具体情况，为您提供更详细的法律指导和帮助。