结论：在您描述的情况下，即前五个月未签合同，第六个月签订了合同，您主要可以主张的权利包括要求用人单位支付前五个月未签订书面劳动合同的双倍工资差额，以及确保第六个月及之后合同条款的合法性和权益保障。

1. 双倍工资差额的主张

根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，对于您前五个月未签订书面劳动合同的情况，您有权要求用人单位支付这五个月的双倍工资差额。具体计算方式为：前五个月中，每个月应支付的工资数额乘以一（因为原本就应支付一倍工资），再额外支付一倍作为差额，即总共是前五个月工资的两倍减去已支付的一倍工资，实际获得的是前五个月工资的一倍作为差额补偿。

计算公式：双倍工资差额 = 前五个月每月工资 × 1（差额部分）× 5个月

2. 合同条款的合法性和权益保障

• 合同内容审查：第六个月签订的合同，您需要仔细审查合同条款，确保所有条款均符合法律法规，没有侵犯您的合法权益。特别是关于工资、工作时间、休息休假、社会保险等关键条款。
• 权益保障：如果合同中有任何不公平、不合理的条款，或者用人单位在合同履行过程中存在违法行为，您有权提出异议，并可以通过法律途径维护自己的权益。

3. 其他可能的主张

• 经济补偿或赔偿：如果因为未签订合同给您造成了其他损失（如错过其他工作机会、精神损害等），虽然这些损失可能难以直接量化，但在某些情况下，您也可以尝试主张相应的经济补偿或赔偿。不过，这通常需要具体的证据和法律支持。
• 社会保险和福利待遇：确保用人单位按照合同约定和国家法律法规为您缴纳社会保险，并提供应有的福利待遇。

4. 行动建议

• 收集证据：保留好与用人单位的所有沟通记录、工资条、工作证等证据，以备不时之需。
• 协商解决：首先尝试与用人单位协商解决，看是否能够达成一致意见。
• 法律途径：如果协商无果，您可以向当地劳动监察部门投诉，或者申请劳动仲裁，甚至通过诉讼途径维护自己的权益。

在整个过程中，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。作为专业律师，我将竭诚为您提供法律支持。