形成双重劳动关系的劳动者申请未签订劳动合同双倍工资，是否支持需视具体情况而定。以下从不同角度进行分析：
一、支持双倍工资的情形
后建立的劳动关系未签订书面劳动合同，且前一劳动关系已终止或解除：
- 若劳动者与前一用人单位的劳动关系已经终止或解除，随后与新的用人单位建立了劳动关系，但新用人单位未在规定时间内（自用工之日起一个月内）与劳动者签订书面劳动合同，那么根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，新用人单位应当向劳动者每月支付二倍的工资。
劳动者在同一用人单位从事不同工作岗位，因用人单位原因未签订书面劳动合同：
- 在某些情况下，劳动者可能在同一用人单位内从事不同的工作岗位，如果因为用人单位的原因（如管理疏忽、故意拖延等）未与劳动者签订书面劳动合同，那么劳动者也有权要求用人单位支付双倍工资。
二、不支持双倍工资的情形
前后劳动关系存在紧密关联：
- 如果劳动者与前一用人单位的劳动关系未解除或终止，而后一劳动关系属于前一劳动关系的延续或补充，且劳动者对此明知，那么在这种情况下，后一劳动关系中的用人单位未签订书面劳动合同，一般不支持双倍工资。因为此时劳动者与两个用人单位之间的关系更类似于一种合作或兼职关系，而非独立的双重劳动关系。
劳动者存在过错导致未签订书面劳动合同：
- 如果劳动者因为自身原因（如拒绝签订、故意拖延等）导致未与用人单位签订书面劳动合同，那么在这种情况下，劳动者要求用人单位支付双倍工资的请求可能不会得到支持。因为劳动者自身存在过错，应当承担相应的责任。
三、特殊情形与注意事项
视为已签订无固定期限合同的例外：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法实施条例》第七条，如果用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同，那么法律直接视为双方已订立无固定期限劳动合同。此后，劳动者再要求用人单位支付双倍工资的请求将不会得到支持（仅可主张前11个月的差额）。
时效限制：
- 劳动者对于用人单位未签订劳动合同的行为，有权要求赔偿，但这一权利并非无期限。根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》第二十七条，劳动争议申请仲裁的时效期间为一年。仲裁时效期间从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。因此，劳动者需要在知道或应当知道自己的权利被侵害之日起一年内提出赔偿请求，否则可能因超过时效而丧失胜诉权。
四、建议与行动指南
- 劳动者：如果发现自己处于双重劳动关系中，且后一劳动关系未签订书面劳动合同，建议先与用人单位协商补签合同并要求支付双倍工资差额。如果协商不成，可以向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。同时，要注意保留好相关证据（如工作记录、薪酬凭证等），以便在维权时使用。
- 用人单位：为了避免法律风险，用人单位应当及时与劳动者签订书面劳动合同，并完善管理制度，定期排查未签约人员并及时补救。同时，要保留好工资发放、考勤管理等记录，以证明劳动关系的存续。
总之，形成双重劳动关系的劳动者申请未签订劳动合同双倍工资是否支持，需要根据具体情况进行判断。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。