当您的狗第一次被城管抓走时，您应当采取以下清晰、有条理的步骤来处理，并了解是否需要交罚款的相关情况：

一、初步应对与了解情况

1. 保持冷静：首先，不要慌张，保持冷静以便理智地处理后续事宜。

2. 立即联系城管：主动与城管部门取得联系，了解他们抓走狗的具体原因，比如是否因为未佩戴犬牌、未牵绳、属于禁养犬种，或者有扰民、伤人行为等。同时，询问所依据的法律法规以及狗狗目前的去向。

3. 要求提供执法文书：向城管部门索要相关的执法文书，如暂扣清单、处罚决定书等。这些文书将作为您后续处理问题的重要依据。

二、核实自身情况与准备证据

1. 自查违规情况：对照当地的养犬管理规定，仔细检查自己在养犬过程中是否存在违规行为。如果确实存在违规，要积极认识错误，并考虑如何整改。

2. 收集证据：整理能证明狗狗属于您的证据，如购买狗狗的发票、宠物医院的诊疗记录、狗狗的照片和视频等。同时，准备好狗狗已办理的相关证件（如养犬登记证、免疫证明等）的复印件或电子版。

三、根据不同情况采取相应措施，并了解罚款情况

1. 如果自身存在违规：

   • 配合整改：按照城管的要求和相关规定，尽快完成整改。例如，及时为狗狗办理养犬登记证、补种疫苗等。
   • 接受处罚并申请领回：在完成整改后，根据城管部门的处罚决定，可能需要支付一定的罚款。支付罚款后，向城管部门提交领回狗狗的申请，并提供整改完成的证明材料。

2. 如果认为执法有误或狗狗情况特殊：

   • 沟通协商：与城管部门进行友好沟通，陈述您的理由和情况，指出您认为执法存在的错误或狗狗的特殊情况（如狗狗是流浪狗后被您收养，但尚未办理相关证件）。
   • 申请行政复议或提起行政诉讼：如果沟通无果，且您认为城管部门的执法行为确实存在不合理或不合法的情况，您可以在法定期限内向作出抓走狗狗决定的城管部门的本级人民政府或者上一级主管部门申请行政复议，或者在知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内向有管辖权的人民法院提起行政诉讼。

关于罚款：

• 罚款是否需要支付，以及罚款的金额，取决于您是否存在违规行为以及违规行为的严重程度。如果城管部门认定您存在违规行为，并依据相关法律法规作出了罚款决定，那么您需要按照决定支付罚款。
• 如果您认为罚款决定不合理或不合法，您可以通过上述的行政复议或行政诉讼途径来维护自己的权益。

四、关注狗狗安全与未来预防

1. 关注狗狗安全：在整个处理过程中，要密切关注狗狗的安全和健康状况。确保它在被扣留期间得到妥善的照顾。

2. 预防未来类似情况：为了避免类似情况再次发生，请严格遵守当地的养犬管理规定。包括定期为狗狗办理必要的证件、遵守遛狗规则（如出门牵绳、携带粪便清理工具、按规定时间和地点遛狗）等。

综上所述，当您的狗被城管抓走时，首先要保持冷静并了解具体情况。然后根据自己的实际情况采取相应的措施，无论是配合整改、接受处罚还是申请行政复议、提起行政诉讼。同时，也要关注狗狗的安全和健康，并严格遵守当地的养犬管理规定以避免未来类似情况的发生。