结论：城管执法使用私车抓狗属于程序瑕疵或违规行为，可能影响执法合法性。具体处理方式需结合执法目的、程序合规性及后续补救措施综合判断，以下分情况说明：

1. 执法程序合法性分析

根据《行政处罚法》第三十七条及《城市管理执法办法》相关规定，行政执法人员执行公务时应当出示执法证件，并使用统一制式的执法车辆。若城管使用私车抓狗，可能涉及以下程序问题：

• 主体资格存疑：私车无法体现执法主体身份，可能被认定为“非职务行为”，导致行政相对人（如狗主人）对执法合法性产生质疑；
• 证据效力瑕疵：若执法过程需录音录像或固定证据，私车可能缺乏执法记录仪等设备，影响证据的合法性、关联性；
• 程序正当性缺失：未使用制式车辆可能违反内部执法规范，构成“程序轻微违法”，若对相对人权利产生实际影响，可能被法院撤销或确认违法。

2. 不同场景下的处理方式

（1）紧急情况下的临时处置

若城管因突发情况（如流浪狗伤人、阻碍交通等）需立即采取措施，且制式车辆无法及时到达，使用私车可视为“紧急避险”行为，但需满足以下条件：

• 事后24小时内补办审批手续，说明使用私车的必要性；
• 执法过程中全程开启执法记录仪，固定证据；
• 及时联系动物收容机构或相关部门协助处理，避免单独处置引发争议。

（2）非紧急情况下的常规执法

若城管在非紧急状态下使用私车抓狗，属于程序违规，相对人可采取以下措施：

• 现场质疑：要求执法人员出示证件、说明执法依据，并记录私车车牌号；
• 行政复议或诉讼：若因执法行为受损（如狗被错误扣押），可向城管部门上级机关申请复议，或直接向法院起诉，主张程序违法；
• 投诉举报：向当地纪委监委或城管部门内部督察机构举报，要求追究相关人员责任。

3. 城管部门的补救义务

若城管已使用私车抓狗，需在事后采取以下补救措施：

• 书面说明情况：向相对人出具加盖公章的《情况说明》，解释使用私车的原因及执法依据；
• 重新履行程序：若需处罚（如罚款、没收），应重新使用制式车辆完成调查、取证、告知等法定程序；
• 内部追责：对违规使用私车的执法人员给予批评教育、扣发绩效等处分，避免类似行为再次发生。

4. 相对人的权利保障

无论城管是否使用私车，相对人均享有以下权利：

• 知情权：要求执法人员出示证件、说明执法依据及目的；
• 申辩权：对执法行为提出异议，要求听取陈述和申辩；
• 救济权：对处罚决定不服的，可依法申请复议或提起诉讼。

建议：若您遇到城管使用私车抓狗的情况，可先通过录音、录像等方式固定证据，再根据具体场景选择上述处理方式。如有进一步疑问，可直接向我咨询，我将结合具体案情为您提供法律分析。