结论是：在事业单位员工请病假一个月后去世的情况下，事业单位是否给予赔偿，取决于是否构成工伤以及单位是否已尽到相关义务等多个因素。以下是对此问题的详细分析：
一、是否构成工伤
工伤认定：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，员工在工作时间和工作岗位上突发疾病死亡，或者在48小时之内经抢救无效死亡的，应视同为工伤。但此案例中，员工是在病假期间去世，并未直接在工作岗位上突发疾病，因此不直接满足视同工伤的条件。
- 然而，如果员工在病假期间去世的原因与工作有直接关联（如因工作导致的职业病等），则可能构成工伤。但这需要具体的医疗证明和工伤认定程序来确定。
非工伤情况：
- 如果员工去世的原因与工作无直接关联，且不符合工伤认定的其他条件，则不构成工伤。在这种情况下，事业单位通常不承担工伤赔偿责任。
二、单位是否已尽到相关义务
病假期间的工资和福利：
- 事业单位应按照相关规定支付员工病假期间的工资和福利。如果单位未支付或未足额支付，员工家属有权要求单位补发。
其他补偿：
- 除了工资和福利外，如果事业单位有相关的规章制度或员工手册中规定了员工去世后的补偿措施（如丧葬费、抚恤金等），则单位应按照这些规定执行。
- 如果没有相关规定，但单位出于人道主义考虑愿意给予一定的补偿，这也是可以接受的。
三、可能的法律后果和建议
法律后果：
- 如果事业单位未按照相关规定支付病假期间的工资和福利，或者未履行其他法定义务，员工家属有权通过法律途径维护自己的权益。
- 如果员工去世构成工伤，而单位未按照工伤保险条例的规定进行赔偿，单位将面临法律责任。
建议：
- 员工家属应首先与事业单位进行沟通，了解单位对于员工去世后的处理态度和措施。
- 如果沟通无果或单位未履行相关义务，员工家属可以咨询专业律师（比如我），了解自己的法律权益和可能的维权途径。
- 在维权过程中，员工家属应保留好相关证据（如病假条、医疗证明、工资单等），以便在需要时提供证明。
如果有进一步的法律问题或需要具体的法律建议，可以直接向我咨询。我会根据你的具体情况，提供更详细、更专业的法律意见。