结论前置：您可以通过协商、投诉、诉讼三种途径来维权，要求婚介机构退还婚介费，并可根据情况要求其承担相应责任。以下是具体分析：

1. 协商途径：

   • 尝试沟通：首先，您可以尝试与婚介机构进行友好沟通，明确指出其未签订合同且未开发票的行为违反了相关法律法规，要求其退还婚介费。
   • 保留证据：在沟通过程中，务必保留好所有与婚介机构的交流记录，包括聊天记录、通话录音等，以备后续维权之需。

2. 投诉途径：

   • 向消费者协会投诉：如果协商无果，您可以向当地的消费者协会进行投诉，说明婚介机构未签订合同且未开发票的情况，要求消费者协会介入调解。
   • 向税务部门举报：由于婚介机构未开发票，您还可以向税务部门进行举报，税务部门将对此进行调查，并可能对婚介机构进行处罚。
   • 向市场监管部门投诉：同时，您也可以向市场监管部门投诉婚介机构的不规范经营行为，市场监管部门将依法进行调查处理。

3. 诉讼途径：

   • 准备证据：如果通过协商和投诉均无法解决问题，您可以考虑通过法律途径来维权。在提起诉讼前，务必收集好所有相关证据，包括支付婚介费的凭证、与婚介机构的交流记录等。
   • 提起诉讼：您可以向法院提起诉讼，要求婚介机构退还婚介费，并可能要求其承担因违约或违法行为给您造成的损失。在诉讼过程中，您需要按照法院的要求提供证据，并参与庭审等程序。

额外建议：

• 在整个维权过程中，务必保持冷静和理性，避免与婚介机构发生不必要的冲突。
• 如果您对法律程序不熟悉，可以考虑寻求法律援助或咨询专业律师（当然，您现在就可以直接向我咨询相关法律问题），以确保您的权益得到充分保障。

法律依据：

• 根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，经营者提供商品或者服务，应当按照国家有关规定或者商业惯例向消费者出具发票等购货凭证或者服务单据。婚介机构未开发票的行为违反了该规定。
• 同时，根据《中华人民共和国合同法》的相关规定，当事人订立合同，应当具有相应的民事权利能力和民事行为能力。婚介机构收取婚介费却未签订合同，可能构成违约行为。