打招呼半个月后辞职，一般不算急辞，但具体还需结合公司规定和实际情况来判断。以下是从不同角度对此问题的详细分析：
一、法律角度
试用期与正式员工辞职规定：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动者在试用期内提前三日通知用人单位，可以解除劳动合同；而在正式员工阶段，劳动者需要提前三十日以书面形式通知用人单位，才能解除劳动合同。
- 您提到“打招呼半个月后辞职”，若这半个月处于试用期内，且您已提前三日通知，则符合法律规定，不属于急辞。
- 若这半个月已超出试用期，且您未提前三十日以书面形式通知，则可能构成急辞，但具体还需看公司对此类情况的处理规定。
急辞的法律后果：
- 若构成急辞，用人单位可能要求您承担因急辞给公司造成的损失，如招聘新员工的费用、培训费用等。但这一要求需要公司能够证明实际损失的存在，并且该损失与您的急辞行为有直接因果关系。
二、公司规定角度
公司规章制度：
- 不同公司对于员工辞职的规定可能有所不同。有些公司可能规定，员工在提出辞职后需要完成一定的工作交接或等待一定期限才能离职。
- 若您所在的公司有此类规定，且您未遵守，则可能被视为违反公司规定，但不一定构成法律上的急辞。
特殊情况处理：
- 考虑到您提到“家人有病人”，这可能构成您急辞的合理理由。在实际操作中，若您能与公司进行充分沟通，并说明您的特殊情况，公司可能会给予一定的理解和支持。
三、实际操作建议
与公司沟通：
- 无论您是否构成急辞，都建议您与公司进行充分沟通。说明您的辞职原因和特殊情况，争取公司的理解和支持。
- 若公司同意您提前离职，最好要求公司出具书面同意书，以避免后续纠纷。
办理离职手续：
- 在离职前，确保您已按照公司规定办理了所有离职手续，如工作交接、物品归还等。
- 保留好相关证据，如离职申请、工作交接单等，以备不时之需。
关注法律后果：
- 若您构成急辞，且公司要求您承担损失，建议您咨询专业律师（即我本人，王涛律师，专注于工伤赔偿、刑事辩护领域），了解您的法律权利和义务。
- 在必要时，可以通过法律途径维护自己的合法权益。