公司雇请人做饭是否构成劳动关系纠纷，需分情况讨论：

1. 若做饭人员与公司形成长期、稳定的用工关系，且接受公司管理：

   • 在这种情况下，做饭人员通常会被视为公司的员工，双方之间构成劳动关系。根据《劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，公司应与做饭人员签订书面劳动合同，明确双方的权利和义务，包括工作内容、工作地点、工作时间、劳动报酬等。若公司未与做饭人员签订书面劳动合同，或未按时支付劳动报酬等，做饭人员有权向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司承担相应的法律责任。
   • 案例参考：某公司长期雇请一名厨师为员工提供餐饮服务，厨师按照公司规定的时间上下班，接受公司的管理，并领取固定的工资。后因公司未按时支付工资，厨师向劳动仲裁机构申请仲裁，要求公司支付拖欠的工资及经济补偿。仲裁机构经审理后，认定双方构成劳动关系，支持了厨师的仲裁请求。

2. 若做饭人员与公司形成的是临时性、一次性的服务关系，或做饭人员为家庭或个人提供服务：

   • 在这种情况下，做饭人员与公司之间通常不构成劳动关系，而是可能构成劳务关系或服务合同关系。劳务关系或服务合同关系与劳动关系的区别在于，前者更加灵活，双方之间的权利和义务主要通过口头或书面协议来约定，不受《劳动法》和《劳动合同法》的全面调整。若因服务问题产生纠纷，双方通常通过民事诉讼途径解决。
   • 案例参考：某公司为举办一次活动，临时雇请了一名厨师来提供餐饮服务。活动结束后，双方之间的服务关系即告终止。后因厨师认为公司未按照约定支付服务费用，将公司诉至法院。法院经审理后，认定双方构成服务合同关系，并判决公司按照约定支付服务费用。

法律建议：

• 对于公司而言，在雇请做饭人员时，应明确双方的法律关系，并根据实际情况选择签订劳动合同或服务合同。若选择签订劳动合同，应遵守《劳动法》和《劳动合同法》的相关规定，保障做饭人员的合法权益。
• 对于做饭人员而言，在接受公司雇请时，应了解自己的法律地位和权利义务，并根据实际情况选择签订合适的合同。若认为自己的权益受到侵害，应及时向相关部门投诉或申请仲裁。

可能法律后果：

• 若公司未与做饭人员签订书面劳动合同，或未按时支付劳动报酬等，可能面临劳动仲裁机构的仲裁裁决或法院的判决，要求承担相应的法律责任。
• 若做饭人员与公司之间构成的是劳务关系或服务合同关系，因服务问题产生纠纷时，双方可能通过民事诉讼途径解决，公司可能面临支付服务费用、违约金等民事责任。

如有进一步的法律问题或需要具体的法律建议，可以直接向我咨询。