作为银行工作人员，在此情况下应首先保持冷静，并遵循相应的法律程序和处理规范。以下是我对此情况的具体分析：
一. 明确法律责任
银行的安全保障义务：根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十八条，宾馆、商场、银行、车站、机场、体育场馆、娱乐场所等经营场所、公共场所的经营者、管理者或者群众性活动的组织者，未尽到安全保障义务，造成他人损害的，应当承担侵权责任。因此，银行需评估是否尽到了对老人的安全保障义务，如是否提供了必要的救助措施、是否及时联系了急救人员等。
家属的举证责任：家属认为银行有过失，需要承担举证责任，即提供证据证明银行确实存在过错，且该过错与老人的晕倒及后续损害有因果关系。
二. 处理建议
保留证据：银行应保留与事件相关的所有监控录像、急救记录等证据，以便后续可能的法律程序使用。
积极沟通：与银行法务部门或专业律师合作，与家属进行积极沟通，解释银行的处理流程、已采取的措施以及法律依据，争取达成和解。
配合调查：如果家属提起侵权诉讼，银行应积极配合法院的调查，提供必要的证据和资料。
三. 预防措施
加强安全保障：银行应加强对营业场所的安全管理，确保设施完善、环境整洁，同时加强对员工的培训，提高应对突发事件的能力。
完善应急预案：制定完善的应急预案，明确在类似事件发生时，银行应如何迅速、有效地进行应对，包括急救措施、报警流程等。
我建议银行在此类事件中应秉持公正、客观的态度，既保护自身合法权益，也尊重并理解家属的关切。通过积极沟通、保留证据、配合调查以及加强预防措施，可以更有效地应对此类纠纷，并减少类似事件的发生。如有进一步需要，您可以继续咨询我。