针对您提出的“被人打伤，伤情鉴定是轻伤，但对方不承认鉴定结果并申请重新鉴定，我们该怎么办”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，如果您或对方对轻伤鉴定结果不满意，根据法律规定，自收到鉴定书之日起三天内，可以向上一级公安机关申请重新鉴定。这是法律赋予您的权利，也是确保鉴定结果公正、准确的重要途径。

在申请重新鉴定时，上一级公安机关会安排其他有鉴定资格的人员或机构进行重新鉴定。这一过程中，必须严格按照法定的程序和标准来操作，以确保鉴定结果的公正性和准确性。

在重新鉴定的期间，原先的鉴定结论仍然会继续执行，除非您能提供充分的证据证明原来的鉴定结论确实存在错误。因此，在等待重新鉴定结果的过程中，您需要保持耐心，并准备好相关证据以备不时之需。

如果对重新鉴定的结果仍然有异议，那么您可以向法院申请司法鉴定。法院会委托有相应资质的鉴定机构进行鉴定，这一结果通常具有更高的权威性和公信力。

除了申请重新鉴定和司法鉴定外，您还可以通过以下法律途径来维护自己的合法权益：

1. 向鉴定机构提出异议：您可以要求鉴定机构对鉴定依据、过程等进行解释说明。如果发现鉴定存在违反程序、鉴定人员资质不符等问题，您可以要求重新鉴定。

2. 借助专家辅助人：在诉讼过程中，您可以申请法庭通知有专门知识的人出庭，就鉴定人作出的鉴定意见提出意见。这有助于辅助法官查明案件事实，确保判决的公正性。

3. 依据法律程序提出申请：在刑事诉讼中，您可以依据《刑事诉讼法》在侦查阶段向侦查机关申请重新鉴定，在审查起诉阶段向检察院提出，审判阶段则向法院提出。申请时要说明原鉴定可能存在的问题，如鉴定程序违法、鉴定人员不具备资质等。在民事纠纷中，根据《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》，您也可以在举证期限内书面申请重新鉴定。

总之，面对对方不承认鉴定结果并申请重新鉴定的情况，您需要通过合法的途径来申请重新鉴定或司法鉴定，以维护自己的合法权益。同时，您也可以借助法律程序和专家辅助人来进一步确保鉴定结果的公正性和准确性。希望这些建议能对您有所帮助。