向公安机关提供书面申请后逾期不答复，主要违反了《中华人民共和国行政许可法》的相关规定。以下是对此问题的详细分析：
一、法律依据
《中华人民共和国行政许可法》：
- 该法第三十二条规定，行政机关对申请人提出的行政许可申请，应当根据下列情况分别作出处理：…（四）申请材料不齐全或者不符合法定形式的，应当当场或者在五日内一次告知申请人需要补正的全部内容，逾期不告知的，自收到申请材料之日起即为受理；…。虽然此条直接规定的是申请材料不齐全时的处理，但隐含了行政机关对申请有及时处理的义务。
- 更直接相关的是该法第四十二条，它规定除可以当场作出行政许可决定的外，行政机关应当自受理行政许可申请之日起二十日内作出行政许可决定。二十日内不能作出决定的，经本行政机关负责人批准，可以延长十日，并应当将延长期限的理由告知申请人。这明确规定了行政机关对行政许可申请的处理时限。
- 若公安机关的书面申请涉及的是行政许可事项，且逾期未答复，则直接违反了上述关于处理时限的规定。
《中华人民共和国政府信息公开条例》（如适用）：
- 如果书面申请是关于政府信息的公开，且公安机关未在规定时间内答复，则可能违反该条例的相关规定。例如，该条例第三十三条规定，行政机关收到政府信息公开申请，能够当场答复的，应当当场予以答复。不能当场答复的，应当自收到申请之日起20个工作日内予以答复；需要延长答复期限的，应当经政府信息公开工作机构负责人同意并告知申请人，延长的期限最长不得超过20个工作日。
二、法律后果
- 行政责任：公安机关逾期不答复书面申请，可能面临上级行政机关的责令改正、通报批评等行政责任。
- 对申请人的影响：申请人有权依法要求行政机关履行法定职责，如通过行政复议或行政诉讼途径维护自己的合法权益。在行政复议或行政诉讼中，若证实公安机关确实存在逾期不答复的行为，可能会面临复议决定或判决要求其履行答复义务的后果。
三、建议与措施
- 与公安机关沟通：首先，建议申请人尝试与公安机关进行沟通，了解逾期不答复的具体原因，并要求其尽快给出答复。
- 申请行政复议：如果沟通无果，申请人可以向上一级行政机关申请行政复议，要求复议机关责令公安机关履行答复义务。
- 提起行政诉讼：在行政复议无果或申请人直接选择诉讼途径的情况下，可以向人民法院提起行政诉讼，要求法院判决公安机关履行答复义务并可能承担相应的法律责任。
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