结论：撞伤动物是否构成肇事逃逸以及保险公司是否理赔，需分情况讨论，具体如下：

1. 动物性质影响责任认定

   • 野生动物：若撞伤的是野生动物（如流浪猫狗、野生鸟类等），通常不涉及法律意义上的“肇事逃逸”。因为野生动物不属于个人财产，驾驶员无需承担民事赔偿责任，保险公司一般也不会因此理赔（除非车损险覆盖车辆自身损失）。
     
   • 有主动物：若撞伤的是有明确主人的宠物（如家养猫狗），且驾驶员未停车处理，可能被认定为“肇事逃逸”。根据《道路交通安全法》第70条，发生交通事故后，驾驶员应立即停车、保护现场，并报告交警或动物主人。若逃逸，可能面临行政处罚（如罚款、扣分），且保险公司可能以“逃逸”为由拒赔。

2. 保险公司理赔的关键条件

   • 车损险：若车辆因撞击动物受损，且驾驶员无逃逸行为，可通过车损险申请理赔。但需提供现场照片、交警证明等材料。
     
   • 第三者责任险：若动物属于他人财产（如有主宠物），且驾驶员无逃逸行为，可能通过第三者责任险理赔。但需证明动物价值（如购买凭证、鉴定报告），且保险公司可能按比例赔付。
     
   • 逃逸免责条款：若驾驶员被认定为逃逸，保险公司通常依据合同条款拒赔。因为逃逸行为违反了法律义务，增加了事故责任认定的难度。

3. 实务建议

   • 立即停车：无论动物是否有主，均应停车查看情况，避免被认定为逃逸。
     
   • 报警或联系主人：若动物有主，应联系主人协商赔偿；若无主，可报警备案。
     
   • 保留证据：拍摄现场照片、视频，记录动物特征，以便后续理赔或维权。
     

总结：撞伤动物是否构成肇事逃逸，取决于动物性质和驾驶员行为；保险公司是否理赔，则需结合险种、责任认定及是否逃逸综合判断。建议驾驶员谨慎处理，避免因逃逸导致法律风险和理赔障碍。如有具体案件，可进一步向我咨询细节。