在探讨交通运输执法人员是否可以开私家车执法的问题时，我们首先要明确的是，交通运输执法活动必须遵循严格的法定程序和要求，以确保执法的合法性、公平性和权威性。

常规情况下的执法要求：

在常规情况下，交通运输管理部门的工作人员并不被授权驾驶私人汽车上路执行执法任务。他们应当使用专用的执法车辆，这些车辆通常配备有明显的执法标识、警灯、警报器等设备，以便公众识别执法人员的身份，并增强执法行为的公信力和可辨识度。此外，专用执法车辆还配备了必要的安全设备和通讯装置，能更好地应对执法过程中的突发情况，保障执法人员和道路参与者的安全。

特殊情况下的执法说明：

尽管在常规情况下不允许使用私家车执法，但在某些特定紧急情况下，如遇到重大突发事件、抢险救援等，且无法及时获取专用执法车辆时，交通运输执法人员驾驶私家车前往现场开展执法和救援工作可能是被允许的。然而，这属于特殊情况，并需严格遵循相关法律法规的规定。在此情况下，执法人员应尽可能向相关部门报备，并在到达现场后通过出示执法证件等方式表明执法身份。

对执法行为的监督与建议：

如果交通运输执法人员在非紧急情况下随意开私家车执法，这可能违反内部的执法规范和工作纪律。当事人有权向其所属的交通运输管理部门进行反映和投诉，以维护执法的公正性和权威性。同时，对于具体的执法行为有疑问或担忧时，公众也可以向相关执法部门咨询或寻求法律援助，以确保自身权益得到妥善保护。

总结：

综上所述，交通运输执法人员在正常情况下应使用专用执法车辆进行执法活动。在特定紧急情况下，虽可能允许使用私家车执法，但也需严格遵循相关法律法规的规定，并尽可能采取其他措施表明执法身份和保障执法安全。因此，对于“交通运输执法人员可以开私家车执法吗”的问题，答案是在常规情况下不可以，但在特定紧急情况下可能被允许，并需符合相关法律法规的规定。