结论：另一个孩子是否有责任，需根据具体情况判断，主要看其是否存在过错行为以及该行为与摔断牙结果之间的因果关系。
一、从过错责任角度分析
- 若另一个孩子存在过错行为：
- 在教育机构中，孩子们在跑动过程中，如果另一个孩子有故意推搡、绊倒等行为，导致其中一个孩子摔断牙，那么这个孩子存在过错。根据《中华人民共和国民法典》侵权责任编的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。所以，这种情况下另一个孩子是有责任的，其监护人可能需要承担相应的赔偿责任。例如，两个孩子在学校操场跑步，一个孩子突然伸脚绊倒另一个孩子，导致对方摔断牙，绊人的孩子就有过错，其监护人应承担责任。
- 若另一个孩子不存在过错行为：
- 如果两个孩子只是正常跑动，没有故意或者过失的行为，其中一个孩子自己不小心摔倒导致牙摔断，那么另一个孩子没有过错。根据法律规定，没有过错就不需要承担侵权责任。比如，两个孩子在操场上并排慢跑，其中一个孩子突然自己失去平衡摔倒，这种情况下另一个孩子就没有责任。
二、从教育机构责任角度分析
- 教育机构未尽到教育、管理职责：
- 即使另一个孩子没有责任，但如果教育机构没有尽到相应的教育、管理职责，导致学生在校期间受到人身损害，教育机构也应当承担侵权责任。例如，学校操场地面存在坑洼或者障碍物，没有及时清理和设置警示标志，导致学生在跑动时摔倒受伤，学校就需要承担责任。根据《中华人民共和国民法典》第一千二百条规定，限制民事行为能力人在学校或者其他教育机构学习、生活期间受到人身损害，学校或者其他教育机构未尽到教育、管理职责的，应当承担侵权责任。
- 教育机构尽到教育、管理职责：
- 如果教育机构已经尽到了合理的教育、管理职责，比如对操场进行了定期检查和维护，对学生进行了安全教育等，那么教育机构可能不需要承担责任。但这种情况需要教育机构能够提供充分的证据证明自己已经尽到了职责。
三、建议
- 收集证据：
- 如果发生这种情况，首先要及时收集相关证据，如现场照片、视频、目击证人证言等，以便确定事故发生的经过和原因。
- 协商解决：
- 可以先尝试与对方家长和教育机构进行协商，看是否能够达成赔偿协议。协商过程中要保持冷静和理性，明确各方的责任和赔偿范围。
- 法律途径：
- 如果协商不成，可以通过法律途径解决。可以向法院提起诉讼，要求过错方或者教育机构承担相应的赔偿责任。在诉讼过程中，要提供充分的证据证明自己的主张。
如果还有其他疑问，可以直接向我咨询，我会为你提供更详细的法律解答。