当您拿到劳动判决书后，如果对方（即劳务方或用人单位）不履行赔偿义务，您可以通过以下步骤来维护自己的合法权益：

一、确认判决生效

首先，您需要确认判决书是否已经生效。如果双方在上诉期内均未提出上诉，那么判决书在上诉期满后即生效。如果有一方提出了上诉，那么您需要等待二审判决作出后，再根据二审结果来采取后续行动。

二、准备强制执行申请材料

在确认判决书生效后，您需要准备强制执行申请材料，这些材料通常包括：

1. 强制执行申请书：详细说明申请执行的事项、理由和依据。
2. 生效法律文书原件：即已经生效的劳动判决书。
3. 申请人身份证明：如身份证、工作证等，以证明您的身份。
4. 其他可能需要的材料：如被执行人的财产线索等，这有助于法院更快地执行判决。

三、向法院申请强制执行

接下来，您需要向作出一审裁判的法院（或者与第一审人民法院同级的被执行的财产所在地人民法院）提交强制执行申请材料。法院在受理您的申请后，会进行审查，并决定是否立案执行。

四、关注执行进展并催促执行

在法院受理强制执行申请后，您需要及时与执行法院联系，了解案件的执行进展。您可以通过电话、邮件或亲自前往法院等方式与执行法官沟通，催促法院尽快执行判决。同时，您也可以协助法院提供被执行人的财产线索，如银行存款、房产、车辆等，以便法院更有效地执行判决。

五、了解执行措施和法律后果

法院在执行过程中，会采取多种执行措施来促使被执行人履行判决。这些措施包括但不限于查询、冻结、划拨被执行人的存款，扣留、提取被执行人的收入，查封、扣押、拍卖、变卖被执行人的财产等。如果被执行人有能力执行而拒不执行，情节严重的，可能会触犯拒不执行判决、裁定罪，面临刑事处罚。

六、注意申请强制执行的期限

最后，您需要注意申请强制执行的期限。一般来说，申请强制执行的期限为两年，从法律文书规定履行期间的最后一日起算；如果法律文书没有规定履行期间，那么从文书生效之日起算。因此，您需要在规定的期限内及时申请强制执行，以免错过维权时机。

综上所述，当劳动判决书下来后对方不履行赔偿义务时，您可以通过申请强制执行来维护自己的合法权益。在申请过程中，您需要准备充分的材料，及时与法院沟通并催促执行，同时了解执行措施和法律后果。希望这些建议能对您有所帮助。