在仅有未成年儿子和遗弃自己的亲生母亲作为法定继承人的情况下，赔偿金的分配需结合被继承人意愿、法定继承规则及特殊情形综合判定，具体分析如下：

一、若被继承人生前立有合法遗嘱，优先按遗嘱分配

根据《民法典》第1123条，继承开始后，有遗嘱的，按照遗嘱继承或遗赠办理。若被继承人通过自书、代书、录音、口头或公证遗嘱明确指定赔偿金分配方式（如仅分配给未成年儿子），则需优先执行遗嘱内容，遗弃母亲无权主张分配。

二、若无遗嘱，按法定继承规则分配，但遗弃行为可能导致继承权丧失

1. 法定继承顺序与份额
   根据《民法典》第1127条，第一顺序继承人为配偶、子女、父母。本案中，仅未成年儿子和遗弃母亲作为第一顺序继承人，原则上应均等分配赔偿金。但需注意：

   • 未成年子女特殊保护：若儿子为未成年人，法院可能基于其生活、教育需求，在分配时适当倾斜，多分部分赔偿金。
   • 遗弃行为的法律后果：根据《民法典》第1125条，继承人有遗弃被继承人行为，情节严重的，丧失继承权。若母亲存在长期不履行抚养义务、虐待或遗弃被继承人的事实，且经法院认定情节严重，则其无权继承赔偿金，赔偿金将全部由未成年儿子继承。

2. 证明遗弃行为的举证责任
   若主张母亲丧失继承权，需提供证据证明其遗弃行为（如社区证明、证人证言、报警记录等）。若证据不足，法院可能仍按法定继承处理，但会考虑子女权益适当调整份额。

三、赔偿金分配的特殊考量：生活依赖与经济需求

赔偿金性质上属于对被继承人近亲属的物质补偿与精神抚慰，分配时需兼顾各继承人对被继承人的经济依赖程度。未成年儿子通常对被继承人有更高的生活、教育依赖，法院可能据此调整分配比例，例如按7:3或8:2分配（儿子多分）。

建议行动：

1. 收集被继承人生前意愿证据（如遗嘱草稿、录音）；
   
2. 调查母亲是否存在遗弃行为，固定相关证据；
   
3. 协商不成时，向法院提起继承纠纷诉讼，由法院根据证据与法律规定裁决。
   

若有进一步细节需分析，可直接向我咨询。