针对您提出的“私自砍伐黄柏树怎么处罚”的问题，以下是我为您提供的详细解答：

首先，需要明确的是，黄柏树是国家重点保护的野生植物。根据相关法律法规，非法采伐、毁坏黄柏树，或者非法收购、运输、加工、出售黄柏树及其制品的行为，都是违法的，并将受到法律的制裁。

具体来说，对于私自砍伐黄柏树的行为，处罚的力度会根据砍伐的数量、树木的价值以及造成的后果等因素来综合判定。一般来说，如果违反规定非法采伐、毁坏黄柏树，可能会面临三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处以罚金的处罚。

如果情节更为严重，比如非法采伐二株以上的黄柏树、毁坏导致三株以上的黄柏树死亡、或者采伐的黄柏树体积达到二立方米以上等情况，那么处罚将会更为严厉，可能面临三年到七年有期徒刑，并处以罚金的处罚。

以您提到的案例为例，小朱在未取得相关许可的情况下，私自进入山林采伐了三株黄柏树。尽管小朱认为自己采伐的数量不多，不构成犯罪，但执法部门根据相关法律法规认定其行为已经触犯了法律。因为小朱采伐的黄柏树数量达到了“情节严重”中非法采伐珍贵树木二株以上的情形，所以具体量刑时，会结合砍伐数量、树木价值以及是否造成其他严重后果等因素来综合判断，小朱可能面临三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金的处罚。

因此，我强烈建议您不要私自砍伐黄柏树或其他任何受国家保护的野生植物。如果您有相关的需求或疑问，建议咨询当地的林业部门或相关法律机构，以获取准确和合法的指导。