结论：在老人轮流上门照顾且家里安装有监控的情况下，其他儿女确实可以在一定程度上进行监督，但这种监督应当合法、合理且尊重老人的隐私权。

一、从法律角度分析监督的合法性

1. 隐私权保护：

   • 根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，自然人享有隐私权，任何组织或个人不得以刺探、侵扰、泄露、公开等方式侵害他人的隐私权。
   • 监控设备的安装和使用应当遵循合法、正当、必要的原则，不得侵犯他人的隐私权。如果监控设备被用于非法目的，如窥探他人隐私，则可能构成违法行为。

2. 家庭关系与监督：

   • 在家庭关系中，子女对老人的照顾和监督应当基于关爱和尊重，而非控制和监视。
   • 如果其他儿女希望通过监控来监督照顾情况，应当事先与老人沟通并取得其同意，同时确保监控内容仅限于照顾相关的必要信息。

二、从实际操作角度分析监督的合理性

1. 监控设备的安装与使用：

   • 监控设备的安装应当合理，避免安装在老人私人空间（如卧室、卫生间）等可能侵犯隐私的区域。
   • 监控内容应当仅限于照顾老人所必需的信息，如老人的生活状态、健康状况等，避免记录无关信息。

2. 监督的方式与频率：

   • 其他儿女可以通过定期查看监控录像或实时查看（如果老人同意）的方式来了解照顾情况。
   • 监督的频率应当合理，避免过度干涉老人的生活，同时确保能够及时发现并解决问题。

三、从伦理道德角度分析监督的适当性

1. 尊重老人的意愿：

   • 老人作为独立的个体，有权决定自己的生活方式和隐私保护程度。
   • 其他儿女在监督过程中应当尊重老人的意愿，避免因为监督而给老人带来不必要的压力或困扰。

2. 促进家庭和谐：

   • 监督的目的是为了确保老人得到妥善的照顾，而非制造家庭矛盾或冲突。
   • 其他儿女应当通过沟通、协商等方式来解决问题，而不是单纯依赖监控设备。

四、建议与注意事项

1. 事先沟通：

   • 在安装监控设备之前，其他儿女应当与老人进行充分的沟通，解释监控的目的和意义，并取得老人的同意。

2. 明确监控范围：

   • 确定监控设备的安装位置和监控内容，确保不侵犯老人的隐私权。

3. 定期评估与调整：

   • 定期评估监控设备的使用效果，根据实际情况进行调整或优化。

4. 寻求专业帮助：

   • 如果在监督过程中遇到法律问题或伦理困境，可以寻求专业律师或伦理委员会的帮助。

总结：在老人轮流上门照顾且家里安装有监控的情况下，其他儿女可以在合法、合理且尊重老人隐私权的前提下进行监督。但这种监督应当基于关爱和尊重，而非控制和监视。如果有任何法律问题或需要进一步的建议，可以直接向我咨询。