结论前置：您是否需要承担法律责任，取决于您的行为是否构成正当防卫或防卫过当，以及对方咬人的行为性质和您的反应程度。以下是对此问题的详细分析：

1. 正当防卫的认定：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第二十条的规定，为了使国家、公共利益、本人或者他人的人身、财产和其他权利免受正在进行的不法侵害，而采取的制止不法侵害的行为，对不法侵害人造成损害的，属于正当防卫，不负刑事责任。
   • 在您描述的场景中，如果对方咬住您的手不松口，这构成了一种正在进行的不法侵害。您为了制止这种侵害，打对方嘴导致牙掉三颗，如果这一行为是在合理限度内进行的，且没有超过必要的限度，那么您的行为可能构成正当防卫。

2. 防卫过当的认定：

   • 如果您的防卫行为明显超过了必要的限度，造成了不应有的重大损害，那么您的行为可能构成防卫过当。
   • 在判断防卫行为是否过当时，需要考虑不法侵害的强度、紧迫性以及防卫行为的手段、强度等因素。例如，如果对方只是轻微地咬住您的手，而您却使用了过度的暴力导致对方牙齿掉落，那么您的行为可能被视为防卫过当。

3. 对方行为的性质：

   • 对方咬人的行为可能构成侵权，甚至可能构成犯罪（如故意伤害罪），具体取决于咬人的程度和造成的后果。
   • 如果对方的行为被认定为犯罪，那么您在防卫过程中造成的损害可能会在量刑时得到考虑，但这并不意味着您可以无限制地使用暴力进行防卫。

4. 法律后果：

   • 如果您的行为被认定为正当防卫，那么您不需要承担刑事责任，也不需要承担民事赔偿责任。
   • 如果您的行为被认定为防卫过当，那么您可能需要承担一定的刑事责任（如过失伤害罪），同时也可能需要承担一定的民事赔偿责任。
   • 如果对方的行为构成犯罪，且您的防卫行为在合理限度内，那么您不仅不需要承担责任，还可以要求对方承担因其侵权行为给您造成的损失。

建议：

• 在遇到类似情况时，首先应尽量保持冷静，尝试通过非暴力方式解决问题。
• 如果必须采取防卫措施，应确保防卫行为在合理限度内，避免使用过度暴力。
• 事后应及时报警，并保留相关证据（如现场照片、视频、证人证言等），以便在需要时证明自己的行为是正当防卫。

进一步思考：

• 在实际案例中，正当防卫与防卫过当的界限往往比较模糊，需要具体案件具体分析。
• 如果您对此类问题有进一步的疑问或需要更具体的法律建议，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供更详细的解答。