申请承认与执行外国仲裁裁决被驳回后，当事人应当向上一级人民法院申请复议，而非直接起诉。以下是详细分析：
一、法律依据与程序规定
根据《最高人民法院关于执行我国加入的〈承认及执行外国仲裁裁决公约〉的通知》及相关司法解释，当事人对人民法院作出的不予承认和执行外国仲裁裁决的裁定不服的，可以自裁定送达之日起十日内向上一级人民法院申请复议。这一规定明确了复议程序作为救济途径的合法性。
二、复议与起诉的区分
复议程序：
- 对象：针对人民法院作出的不予承认和执行外国仲裁裁决的裁定。
- 期限：自裁定送达之日起十日内。
- 法院：向上一级人民法院申请。
- 目的：通过上一级法院的审查，纠正下级法院可能存在的错误裁定。
起诉程序：
- 对象：通常针对具体的民事争议或行政行为。
- 期限：根据具体案由和法律规定而定，一般与复议期限不同。
- 法院：根据案件性质和管辖规定确定。
- 目的：通过诉讼解决争议，确认权利义务关系。
三、为何选择复议而非起诉
- 专门性：复议程序是针对外国仲裁裁决承认与执行问题的专门救济途径，更直接、更专业。
- 效率性：复议程序通常比诉讼程序更快捷，有助于当事人及时维护权益。
- 合法性：根据法律规定，复议是当事人对不予承认和执行裁定不服时的法定救济方式。
四、实际操作建议
- 及时申请复议：在收到不予承认和执行裁定后，务必在十日内向上一级人民法院申请复议，以免错过救济时机。
- 准备充分材料：在申请复议时，应提交充分的证据材料，包括仲裁裁决书、相关证据、法律意见书等，以支持自己的复议请求。
- 关注复议结果：复议结果可能包括维持原裁定、撤销原裁定并指令下级法院重新审查等。当事人应根据复议结果采取相应的后续行动。
五、特殊情况下的考虑
虽然复议是主要的救济途径，但在某些特殊情况下，当事人也可能考虑通过其他方式维护权益。例如，如果复议程序存在严重违法或不当行为，当事人可能考虑通过申诉或监督程序寻求救济。然而，这些方式通常更为复杂且耗时较长，因此应谨慎选择。
总结来说，申请承认与执行外国仲裁裁决被驳回后，当事人应当及时向上一级人民法院申请复议以维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。