结论：一审判有期徒刑八个月，二审判免予刑事处罚的情况下，一般不可申请国家赔偿，但存在特定例外情形。
分析说明：
国家赔偿的申请条件：
- 根据《中华人民共和国国家赔偿法》的相关规定，国家赔偿主要适用于国家机关及其工作人员在行使职权时，侵犯公民、法人和其他组织合法权益造成损害的情形。
- 在刑事赔偿方面，通常要求赔偿请求人被错误拘留、错误逮捕或无罪被判有罪并已执行刑罚等。
一审判有期徒刑八个月，二审判免予刑事处罚的情况：
- 在此情况下，一审判决并未被最终确认有效，因为二审法院已经作出了免予刑事处罚的判决。
- 免予刑事处罚意味着被告人虽然被认定有罪，但因其情节轻微或其他原因，不给予刑事处罚。这并不等同于无罪，但也不是实际执行了刑罚。
是否可申请国家赔偿：
- 一般情况：由于二审并未确认一审判决的有效性，且被告人未实际执行有期徒刑八个月的刑罚，因此一般不符合国家赔偿的申请条件。
- 例外情况：如果在一审判决后，被告人被实际羁押并执行了部分或全部有期徒刑八个月的刑罚，且二审最终改判无罪或免予刑事处罚，那么被告人可能有权申请国家赔偿，针对的是被错误羁押的期间。但本题中并未提及被告人被实际羁押并执行刑罚的情况。
法律建议：
- 如果您或您认识的人处于类似情况，且认为自己的合法权益受到了侵犯，建议详细审查案件材料，特别是关于羁押和执行刑罚的记录。
- 若确实存在被错误羁押或执行刑罚的情形，可以依法向有关机关提出国家赔偿申请。
- 在此过程中，建议咨询专业律师，以确保您的权益得到充分保障。
特殊场景：
- 假设本题中存在被告人被实际羁押并执行了部分有期徒刑八个月的刑罚的特殊情况，那么被告人应依据《国家赔偿法》的相关规定，向作出错误判决的机关提出赔偿申请，并提供相关证据材料。
结论补充说明：
- 在没有实际执行刑罚或错误羁押的情况下，一审判有期徒刑八个月，二审判免予刑事处罚，通常不可申请国家赔偿。
- 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律建议。