针对您朋友因上家客户虚开发票被牵连导致取保候审的情况，公安机关的处理方式会依据具体的案件事实和法律规定来进行。以下是对此问题的详细解答：
一、取保候审的性质与条件
取保候审是刑事诉讼中的一种强制措施，它允许犯罪嫌疑人在不被羁押的情况下，等待审判或进一步调查。取保候审的适用通常基于犯罪嫌疑人可能判处管制、拘役或者独立适用附加刑，或者虽然可能判处有期徒刑以上刑罚，但采取取保候审不致发生社会危险性的情形。
二、虚开发票罪的判刑依据
对于虚开发票罪，判刑的依据主要是犯罪情节的严重程度。这包括虚开的金额、份数、用途以及造成的影响等因素。
情节较轻：如果虚开发票情节较轻，如虚开金额较小、危害后果不严重等，可能会被判处拘役，并处罚金。
情节严重：如果情节严重，如虚开金额较大、致使国家税款遭受重大损失、严重扰乱税收征管秩序等，可能会被判处有期徒刑，并处罚金。
三、取保候审期间的表现对判刑的影响
在取保候审期间，犯罪嫌疑人的表现也会对最终判刑产生影响。
积极配合调查：如果犯罪嫌疑人在取保候审期间积极配合调查、如实供述罪行，甚至有立功表现，法院在量刑时可能会考虑从轻处罚。
违反规定：相反，如果犯罪嫌疑人在取保候审期间违反规定，如逃避侦查、起诉或审判，或者实施其他犯罪行为，法院可能会取消取保候审，重新羁押，并在量刑时予以从重考虑。
四、公安机关的具体处理方式
调查取证：公安机关会继续对案件进行调查取证，以查明犯罪嫌疑人的具体犯罪事实和情节。
审查起诉：在调查结束后，公安机关会将案件移送检察机关审查起诉。检察机关会根据案件事实和法律规定，决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉。
法院审判：如果检察机关提起公诉，案件将进入法院审判阶段。法院会根据案件事实和法律规定，依法作出判决。
五、建议与注意事项
保持沟通：建议您的朋友与律师保持密切沟通，及时了解案件进展和法律规定。
遵守规定：在取保候审期间，您的朋友应严格遵守相关规定，如不得离开指定居住地、不得干扰证人作证等。
准备辩护：您的朋友应积极准备辩护材料，如提供无罪或罪轻的证据和理由，以维护自己的合法权益。
综上所述，公安机关对因虚开发票被牵连导致取保候审的犯罪嫌疑人的处理方式会依据具体的案件事实和法律规定来进行。您的朋友应积极配合调查，遵守相关规定，并准备充分的辩护材料以维护自己的合法权益。