若企业发生员工断指这类工伤事故，当地政府一般会从以下几个角度进行处理：

1. 劳动保障监察角度：
   • 调查核实：当地政府的劳动保障监察部门在接到相关举报或知晓情况后，会迅速对企业展开调查。核实企业是否存在违反劳动保障法律法规的行为，例如是否未按照规定为员工提供必要的安全防护措施、是否未依法签订劳动合同、是否未按时足额支付工资等。如果发现企业存在违法行为，将依法进行查处。
   • 责令整改：对于存在安全隐患或违反劳动保障规定的企业，劳动保障监察部门会下达责令整改通知书，要求企业在规定期限内整改到位。例如，若企业未提供符合标准的劳动防护用品导致员工受伤，会责令企业立即配备合格的防护用品，并对员工进行安全培训。
   • 行政处罚：若企业拒不整改或整改不到位，劳动保障监察部门将根据违法情节的轻重，对企业处以警告、罚款等行政处罚。罚款金额根据具体违法情形而定，严重违反劳动保障法律法规的，罚款数额可能较高。
2. 工伤保险管理角度：
   • 督促申报：当地政府的工伤保险经办机构会督促企业及时为员工申报工伤。企业应在事故发生之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。若企业未按规定申报，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
   • 审核认定：社会保险行政部门在收到工伤认定申请后，会进行调查核实，并在规定时间内作出工伤认定决定。若认定为工伤，工伤职工将享受相应的工伤保险待遇，包括医疗费用报销、停工留薪期工资、一次性伤残补助金等。工伤保险经办机构会按照规定审核和支付相关待遇。
   • 监督支付：工伤保险经办机构会监督企业按时足额支付工伤职工应享受的工伤保险待遇。若企业未依法支付，工伤保险基金可能会先行支付，然后由工伤保险经办机构向企业追偿。
3. 安全生产监管角度：
   • 事故调查：当地政府的安全生产监督管理部门会对断指事故进行调查，查明事故发生的原因、经过和损失情况，确定事故责任。调查过程中，会收集相关证据，询问企业负责人、员工等有关人员。
   • 行政处罚与问责：根据事故调查结果，若企业存在安全生产违法行为，安全生产监督管理部门将依法对企业进行行政处罚，如罚款、停产整顿等。同时，对于在事故中负有责任的相关人员，可能会依法追究其行政责任或刑事责任。
   • 推动整改与预防：安全生产监督管理部门会要求企业针对事故原因进行全面整改，消除安全隐患，防止类似事故再次发生。还会推动企业加强安全生产管理，提高员工的安全意识和操作技能，建立健全安全生产规章制度。

如果企业发生断指事故，当地政府会通过上述多种方式进行处理，以保障员工的合法权益，维护劳动市场的秩序和安全生产的稳定。若您遇到此类法律问题，可直接向我咨询。