家里人因食用问题食品导致中毒，市场监督管理部门（市监）是有权进行处罚的。以下从不同角度为您详细分析：
一、市监部门的处罚依据
根据《中华人民共和国食品安全法》的相关规定，市监部门作为食品安全监管的主要机构，有权对违反食品安全法律法规的行为进行查处。当发现食品存在安全问题，如含有有害物质、超过保质期、标签标识不符合规定等，且这些安全问题导致消费者中毒或其他健康损害时，市监部门可以依法对涉事的生产经营者进行处罚。
二、处罚的具体情形
食品生产经营者责任：
- 如果中毒事件是由于食品生产经营者违反食品安全标准，如使用过期原料、添加非法物质等导致的，市监部门将依法对生产经营者进行处罚，包括但不限于罚款、没收违法所得、责令停产停业等。
餐饮服务提供者责任：
- 如果中毒事件发生在餐饮服务场所，如餐厅、食堂等，且是由于餐饮服务提供者未严格遵守食品安全操作规范，如未彻底加热食品、未保持餐具清洁等导致的，市监部门同样会对餐饮服务提供者进行处罚。
食品销售者责任：
- 对于销售过期、变质或不符合食品安全标准的食品的销售者，市监部门也会依法进行处罚，以保障消费者的食品安全。
三、处罚的流程与后果
调查取证：
- 市监部门在接到中毒事件报告后，会立即展开调查，收集相关证据，包括食品样本、消费者中毒症状记录、医疗诊断证明等。
行政处罚：
- 根据调查结果，如果确认食品存在安全问题且导致中毒事件，市监部门将依法对涉事方进行行政处罚，处罚种类和幅度将根据违法行为的性质和情节严重程度确定。
刑事责任追究：
- 如果中毒事件后果严重，如造成多人重伤或死亡，且涉事方的行为构成犯罪，市监部门还会将案件移送公安机关，依法追究涉事方的刑事责任。
四、您的权益与应对措施
保留证据：
- 在发生中毒事件后，您应尽快保留相关证据，如食品包装、购买凭证、医疗诊断证明等，以便后续维权。
及时报告：
- 您应立即向当地市监部门报告中毒事件，以便他们及时展开调查并采取措施防止事件扩大。
寻求法律帮助：
- 如果您在处理中毒事件过程中遇到法律问题或需要维权，可以随时向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律建议。
总结来说，家里人因食用问题食品导致中毒时，市监部门是有权进行处罚的。处罚的依据、情形、流程与后果都明确且严格。作为消费者，您应保留好相关证据，及时报告事件，并在需要时寻求法律帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。