核心结论：是否需要公司承担责任及如何赔偿，需根据具体情况判断，主要涉及劳动关系认定、发病与工作关联性等因素。以下分情况说明：

1. 若员工当天提出辞职但尚未解除劳动关系

• 责任认定：若员工在提出辞职后、正式离职前发病，且发病与工作存在直接关联（如因工作强度、环境等引发），公司可能需承担部分责任。根据《工伤保险条例》，若被认定为工伤，公司需按工伤标准赔偿（包括医疗费、停工留薪期工资等）。
• 关键点：需证明发病与工作存在因果关系（如职业病、工作过程中突发疾病等）。若无法证明，公司可能无需承担责任。

2. 若员工当天提出辞职并立即离职（劳动关系已解除）

• 责任认定：劳动关系解除后，公司一般无需对员工后续发病承担责任，除非存在以下特殊情形：
  • 公司未依法办理离职手续：如未结清工资、未出具离职证明等，导致员工权益受损，可能需承担相应赔偿责任。
  • 公司存在过错：如员工因公司违法行为（如拖欠工资、强迫劳动等）导致精神或身体损害，可能需承担侵权责任。
• 赔偿范围：若公司存在过错，赔偿范围可能包括医疗费、误工费、精神损害抚慰金等，具体需根据过错程度和实际损失确定。

3. 若发病属于非工作原因（如自身疾病）

• 责任认定：无论劳动关系是否解除，公司一般无需对员工非工作原因的发病承担责任。但若员工在工作时间、工作岗位突发疾病（如心梗、脑溢血等），且在48小时内经抢救无效死亡，可能被认定为工伤，公司需按工伤标准赔偿。
• 例外情形：若公司未依法缴纳工伤保险，员工有权要求公司承担全部工伤赔偿责任。

建议与注意事项

1. 及时固定证据：若认为公司需承担责任，应尽快收集相关证据（如医疗记录、工作证明、劳动关系证明等）。
2. 协商或申请仲裁：可先与公司协商解决；协商不成，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
3. 注意时效：劳动争议申请仲裁的时效为1年，自知道或应当知道权利被侵害之日起计算。

总结：公司是否承担责任及赔偿方式需结合劳动关系状态、发病原因、公司过错等因素综合判断。如有具体案件或证据，可进一步向我咨询，我会为你提供更详细的法律分析。