劳务派遣公司与员工不可以签订非全日制劳动合同。以下从法律背景、法律建议和可能的法律后果三个角度进行详细分析：

法律背景

根据《劳动合同法实施条例》第三十条的规定：“劳务派遣单位不得以非全日制用工形式招用被派遣劳动者。”这一条款明确要求劳务派遣单位与被派遣的劳动者之间只能订立两年以上的固定期限全日制劳动合同，且不能签订非全日制劳动合同，建立非全日制劳动关系。这是因为非全日制用工形式相较于全日制用工形式，虽然可以节约成本，但也可能导致劳动者权益得不到充分保障，因此法律对此进行了明确限制。

法律建议

1. 遵守法律规定：劳务派遣公司应当严格遵守《劳动合同法》及其相关实施条例的规定，不得与被派遣劳动者签订非全日制劳动合同。
2. 签订全日制劳动合同：劳务派遣公司应当与被派遣劳动者签订两年以上的固定期限全日制劳动合同，并按照法律规定支付劳动报酬、提供劳动保护等。
3. 加强内部管理：劳务派遣公司应当加强内部管理，确保用工行为的合法性和合规性，避免因违法用工而引发的法律纠纷和行政处罚。

可能的法律后果

如果劳务派遣公司违反法律规定，与被派遣劳动者签订非全日制劳动合同，将可能面临以下法律后果：

1. 行政处理处罚：根据相关法律法规的规定，劳务派遣公司可能因违法用工而受到行政处理处罚，包括罚款、责令改正等。
2. 劳动纠纷风险：由于非全日制劳动合同可能无法充分保障劳动者的权益，因此可能引发劳动纠纷。在劳动纠纷中，劳务派遣公司可能需要承担相应的法律责任，包括支付经济补偿、赔偿损失等。
3. 声誉损害：违法用工行为可能对劳务派遣公司的声誉造成损害，影响其业务发展和市场竞争力。

总结来看，劳务派遣公司与员工签订非全日制劳动合同是违反法律规定的。为了保障劳动者的权益和避免法律风险，劳务派遣公司应当严格遵守法律规定，与被派遣劳动者签订两年以上的固定期限全日制劳动合同。如果您在劳动工伤领域有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。