申请政府履行法定职责时，是否给予受理通知，需视具体情况及法律规定而定，但通常情况下，政府相关部门在收到申请后，会给予一定形式的受理反馈。以下从不同角度对此问题进行详细分析：
一、法律规定角度
一般规定：
- 在行政程序中，当公民、法人或其他组织向政府相关部门提出履行法定职责的申请时，政府相关部门有义务对申请进行审查，并在合理期限内作出是否受理的决定。
- 虽然并非所有法律都明确规定政府必须给予书面受理通知，但根据行政程序的基本原则和透明度要求，政府通常会以适当方式（如书面、口头或电子方式）告知申请人其申请是否已被受理。
特定法律要求：
- 某些特定领域的法律可能明确规定了政府必须给予受理通知。例如，在政府信息公开领域，根据《中华人民共和国政府信息公开条例》的相关规定，行政机关收到政府信息公开申请后，能够当场答复的，应当当场予以答复；不能当场答复的，应当自收到申请之日起20个工作日内予以答复（经批准可延长）。在此过程中，行政机关通常会向申请人出具受理凭证或告知受理情况。
二、实际操作角度
受理通知的形式：
- 受理通知的形式可能因地区、部门或申请类型的不同而有所差异。它可以是书面的受理回执、电子的确认邮件或短信，也可以是口头的告知。
- 无论形式如何，受理通知都应明确表明政府相关部门已收到申请，并正在或即将对申请进行审查。
未给予受理通知的情况：
- 如果政府相关部门在收到申请后未给予任何形式的受理通知，这可能构成行政程序上的瑕疵。申请人有权要求政府相关部门说明情况，并可以依法寻求救济（如提起行政复议或行政诉讼）。
三、法律建议
保留申请证据：
- 申请人在提交申请时，应妥善保留申请的相关证据（如申请书副本、邮寄凭证、电子邮件发送记录等），以便在需要时证明自己已提出申请。
及时跟进申请状态：
- 如果政府相关部门在合理期限内未给予受理通知，申请人可以通过电话、邮件或现场查询等方式及时跟进申请状态，了解申请是否已被受理以及后续的处理进展。
依法寻求救济：
- 如果申请人认为政府相关部门未依法履行受理义务或未给予合理的受理通知，可以依法向上一级行政机关或相关监督机构投诉，或者提起行政复议或行政诉讼以维护自己的合法权益。
总结来看，虽然并非所有法律都明确规定政府必须给予书面受理通知，但根据行政程序的基本原则和透明度要求，以及特定法律的规定，政府相关部门在收到履行法定职责的申请后，通常会给予一定形式的受理反馈。如果申请人未收到任何形式的受理通知，应及时跟进申请状态，并依法寻求救济。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。