对方已经起诉，但案子提交后仍发信息来提出私下调解，这通常意味着对方在诉讼过程中仍保留通过协商解决纠纷的意愿。以下是对此情况的详细分析：

一、诉讼与调解的关系

1. 诉讼的正式性：诉讼是一种正式的纠纷解决方式，通过法院的审判来裁决纠纷。一旦案件进入诉讼程序，双方需要遵循法院的诉讼规则和程序，包括提交证据、参加庭审等。
2. 调解的灵活性：调解则是一种更为灵活的纠纷解决方式，双方可以在第三方（如调解员）的协助下，通过协商达成和解协议。调解不依赖于法院的审判，而是基于双方的自愿和合意。

二、对方提出私下调解的可能原因

1. 降低诉讼成本：诉讼往往伴随着较高的时间成本和经济成本，包括律师费、诉讼费、鉴定费等。对方可能希望通过调解来降低这些成本。
2. 快速解决纠纷：诉讼程序可能较为漫长，尤其是当案件涉及复杂事实或法律问题时。对方可能希望尽快解决纠纷，以避免长时间的诉讼拉锯战。
3. 维护双方关系：在某些情况下，双方可能希望保持一定的商业关系或个人关系。通过调解解决纠纷，可以避免诉讼带来的对立情绪，有助于维护双方的关系。
4. 对诉讼结果的预期：对方可能对诉讼结果有一定的预期，认为通过调解可以获得更符合其利益的结果。或者，对方可能担心诉讼结果的不确定性，希望通过调解来规避风险。

三、您应如何应对

1. 评估调解的可行性：在收到对方的调解信息后，您应首先评估调解的可行性。这包括考虑调解是否能够满足您的利益诉求、调解协议是否具有可执行性等因素。
2. 与律师沟通：如果您不确定如何应对对方的调解提议，或者需要更专业的法律意见，您可以与您的律师进行沟通。律师可以根据案件的具体情况，为您提供更详细的法律分析和建议。
3. 谨慎对待调解协议：如果您决定接受对方的调解提议，并达成调解协议，您应谨慎对待调解协议的内容。确保调解协议明确、具体，并符合您的利益诉求。同时，您也应了解调解协议的法律效力，以及在协议履行过程中可能出现的风险。
4. 继续诉讼准备：即使您决定接受调解，也应继续做好诉讼的准备工作。因为调解并不总是能够成功，如果调解失败，您仍需要依靠诉讼来解决纠纷。

四、可能的法律后果

1. 调解成功：如果调解成功，双方将签订调解协议，并按照协议履行各自的义务。这将导致诉讼程序的终止，双方之间的纠纷得到解决。
2. 调解失败：如果调解失败，或者一方不履行调解协议，另一方仍可以提起诉讼或继续诉讼程序。在这种情况下，法院将根据事实和法律进行裁决。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。我将根据您的具体情况，为您提供更详细的法律分析和建议。