可以起诉。如果月嫂在照顾孩子的过程中存在不当行为，比如护理不当导致孩子受伤或患病，这构成了对孩子权益的侵害，作为家长，你完全有权通过法律途径来维护孩子的合法权益。下面我从几个角度详细分析一下：
一、法律关系分析
家政服务合同关系：如果月嫂是通过家政公司派遣到你家的，那么月嫂与家政公司之间存在劳动关系，而你与家政公司之间则形成了家政服务合同关系。在这种情况下，如果月嫂在照顾孩子的过程中存在不当行为，导致孩子受到损害，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，家政公司作为用人单位，应当承担相应的侵权责任。之后，家政公司可以向有故意或重大过失的月嫂进行追偿。
雇佣劳动关系：如果你是通过中介公司或者熟人介绍直接聘请月嫂到家的，那么你与月嫂之间就形成了雇佣劳动关系。在这种情况下，如果月嫂在照顾孩子的过程中存在不当行为，导致孩子受到损害，你需要根据民法和民法典的相关规定，直接向月嫂主张侵权责任。
二、起诉前的准备
在决定起诉之前，你需要做好充分的准备，包括：
收集证据：这是起诉的关键。你需要收集能够证明月嫂存在不当行为的证据，比如家政服务合同、月嫂向公司报备的材料（如果有的话）、孩子的医药费诊断证明和支付凭证、护理记录、双方的微信通讯记录、病历本、诊断资料、录音录像、照片等。这些证据将有助于你在法庭上证明月嫂的过错和孩子的损害后果。
确定被告：根据你与月嫂之间的法律关系，确定正确的被告。如果是家政服务合同关系，被告应为家政公司；如果是雇佣劳动关系，被告则为月嫂本人。
选择管辖法院：一般来说，你可以选择向月嫂所在地或者合同履行地（即你家所在地）的法院提起诉讼。
三、起诉流程
撰写起诉状：你需要撰写一份起诉状，明确你的诉讼请求、事实和理由，并附上相关证据材料。
提交法院：将起诉状和相关证据材料提交给有管辖权的法院，并缴纳诉讼费。
等待法院受理：法院在收到你的起诉状后，会进行审查，如果符合起诉条件，法院会受理你的案件，并通知你和其他当事人。
参加庭审：在庭审过程中，你需要按照法院的安排参加庭审，陈述你的诉讼请求和事实理由，并出示相关证据材料。月嫂或家政公司也会进行答辩和出示证据。
等待判决：庭审结束后，法院会进行评议，并作出判决。如果判决支持你的诉讼请求，月嫂或家政公司需要按照判决履行相应的义务。
四、注意事项
及时起诉：如果你发现月嫂存在不当行为，导致孩子受到损害，应当及时起诉，以免超过诉讼时效期间。
谨慎选择月嫂：为了避免类似纠纷的发生，你在聘请月嫂时应当谨慎选择，尽可能选择正规的家政公司，并对月嫂的工作经验、工作能力、技能有较多的了解后，再签订相对较为详细的服务合同。
加强监督和管理：在月嫂提供服务的过程中，你应当加强监督和管理，及时发现问题并处理。如果问题较为严重，应当尽快解除合同关系，并就赔偿问题协商解决。如果达不成一致意见，可以诉诸法院依法维权。
作为家长，你有责任和义务保护孩子的合法权益。如果月嫂对孩子不好，导致孩子受到损害，你完全有权通过法律途径来维护孩子的权益。如果你在这个过程中有任何疑问或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。