结论前置：用人单位在合同到期后不签发离职证明的行为违法，劳动者可通过协商、投诉、仲裁或诉讼等途径维权。以下是具体分析：

一、法律义务：用人单位必须签发离职证明

根据《劳动合同法》第五十条，用人单位应当在解除或终止劳动合同时出具解除或终止劳动合同的证明，并在十五日内为劳动者办理档案和社会保险关系转移手续。
核心前提：合同到期属于劳动合同终止的法定情形，用人单位无权以任何理由拒绝签发离职证明。若未履行该义务，需承担法律责任。

二、用人单位不签离职证明的后果

1. 行政责任：
   根据《劳动合同法》第八十九条，用人单位未出具离职证明的，由劳动行政部门责令改正；给劳动者造成损害的，应当承担赔偿责任。
   例如：劳动者因无离职证明无法入职新单位，导致工资损失的，可要求原单位赔偿。

2. 民事赔偿责任：
   若劳动者能证明因未取得离职证明遭受实际损失（如错失工作机会、社保断缴等），可向法院起诉要求用人单位赔偿。
   关键点：需保留新单位录用通知、工资标准等证据，证明损失与未签离职证明的因果关系。

三、劳动者维权途径

1. 协商解决：
   与用人单位沟通，明确要求其出具离职证明，并留存书面沟通记录（如邮件、短信）。

2. 向劳动监察部门投诉：
   携带劳动合同、终止通知等材料，向当地劳动保障监察大队投诉，要求责令用人单位限期出具证明。

3. 申请劳动仲裁：
   若投诉无果，可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，主张：

   • 要求用人单位出具离职证明；
     
   • 赔偿因未签证明导致的损失（如工资损失、社保补缴费用等）。

4. 提起诉讼：
   对仲裁结果不服的，可向法院提起诉讼，通过司法程序强制用人单位履行义务并赔偿损失。

四、实务建议

1. 保留证据：
   保存劳动合同、终止通知、沟通记录等材料，证明劳动关系终止及用人单位拒不出具证明的事实。

2. 明确损失范围：
   若主张赔偿，需提供新单位录用通知、工资标准、社保断缴证明等，量化实际损失。

3. 优先通过行政途径解决：
   劳动监察部门处理效率较高，可快速督促用人单位履行义务，避免诉讼成本。

总结：用人单位不签离职证明的行为违法，劳动者可通过协商、投诉、仲裁或诉讼维权。若需进一步分析具体案件中的损失计算或证据收集，可直接向我咨询。