根据《中华人民共和国劳动合同法》规定，用人单位在以下几种情况下可以合法解除劳动合同（即开除员工），且无需支付经济补偿：

1. 试用期不符合录用条件
   若劳动者在试用期内被证明不符合录用条件，用人单位可解除劳动合同。但需注意，用人单位需提供充分证据证明劳动者不符合岗位要求，例如通过考核记录、工作表现评估等。

2. 严重违反用人单位规章制度
   劳动者严重违反用人单位的规章制度，如多次旷工、严重违反操作规程等，用人单位可解除劳动合同。但规章制度需合法、合理且经过民主程序制定，并向劳动者公示。例如，公司规章制度中明确规定“连续旷工3天视为严重违纪”，且该制度已通过职工代表大会讨论并公示，则劳动者连续旷工3天时，公司可依法解除劳动合同。

3. 严重失职、营私舞弊，给用人单位造成重大损害
   劳动者因严重失职或营私舞弊，给用人单位造成重大损害的，用人单位可解除劳动合同。例如，财务人员因疏忽导致公司资金被挪用，或采购人员收受回扣导致公司采购成本大幅上升，均属于此类情形。

4. 同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经用人单位提出拒不改正
   劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位工作任务造成严重影响，或经用人单位提出后拒不改正的，用人单位可解除劳动合同。例如，劳动者在工作时间频繁处理其他单位事务，导致本职工作无法按时完成，且经公司警告后仍不改正的，公司可依法解除劳动合同。

5. 以欺诈、胁迫或乘人之危手段订立或变更劳动合同，致使劳动合同无效
   劳动者以欺诈、胁迫或乘人之危手段，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或变更劳动合同，致使劳动合同无效的，用人单位可解除劳动合同。例如，劳动者在入职时提供虚假学历证明，或通过威胁手段迫使公司签订不合理的劳动合同条款，均属于此类情形。

6. 被依法追究刑事责任
   劳动者被依法追究刑事责任的，用人单位可解除劳动合同。例如，劳动者因犯罪被判处刑罚，或被公安机关采取强制措施且无法继续履行劳动合同的，公司可依法解除劳动合同。

此外，在以下特殊情形下，用人单位也可解除劳动合同，但需提前通知或支付经济补偿：

• 劳动者患病或非因工负伤，医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作
  此时，用人单位需提前30日以书面形式通知劳动者本人，或额外支付劳动者1个月工资后，方可解除劳动合同，并需支付经济补偿。

• 劳动者不能胜任工作，经过培训或调整工作岗位后仍不能胜任
  同样，用人单位需提前30日以书面形式通知劳动者本人，或额外支付劳动者1个月工资后，方可解除劳动合同，并需支付经济补偿。

法律建议：

1. 用人单位在解除劳动合同时，务必遵循法定程序，如通知工会、将解除事由告知劳动者等，否则可能构成违法解除，需支付赔偿金。
   
2. 劳动者若认为公司开除自己的理由不成立，属于违法解除劳动合同，可依法申请劳动仲裁，要求公司支付赔偿金或继续履行劳动合同。
   
3. 无论是用人单位还是劳动者，在处理劳动纠纷时，均应保留相关证据，如劳动合同、规章制度、考核记录、通知文件等，以便在仲裁或诉讼中维护自身权益。

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