结论：建设工程项目竣工且保险到期后，已申请的工伤认定是否由基金支付，需分情况讨论，具体如下：

1. 工伤认定时间与保险有效期的关系
   根据《工伤保险条例》及相关规定，工伤保险的赔付以“工伤事故发生时间”或“职业病确诊时间”为准，而非以项目竣工或保险到期时间为判断依据。

   • 若工伤发生在保险有效期内：即使项目已竣工或保险到期，只要工伤认定申请在法定时限内（通常为事故发生后30日内由用人单位申请，1年内由劳动者或近亲属申请），且经劳动保障行政部门认定为工伤，则工伤保险基金应支付相关待遇（如医疗费、伤残补助金等）。
     
   • 若工伤发生在保险到期后：若用人单位未及时续保，且工伤事故发生在保险空白期，则工伤保险基金不予支付，需由用人单位自行承担赔偿责任。

2. 项目竣工对工伤赔付的影响
   项目竣工本身不直接影响工伤赔付，但需注意以下两点：

   • 劳动关系存续：若项目竣工后劳动者与用人单位的劳动关系已终止（如合同到期、解除等），可能影响后续工伤待遇的申领（如一次性工伤医疗补助金、就业补助金等），但已认定的工伤医疗费用仍可由基金支付。
     
   • 用人单位责任：若项目竣工后用人单位注销或破产，且未依法缴纳工伤保险费，劳动者可向社会保险行政部门申请先行支付，再由社保部门向用人单位追偿。

3. 实务建议

   • 及时申请工伤认定：无论项目是否竣工或保险是否到期，均应在法定时限内申请工伤认定，避免因超期导致权益丧失。
     
   • 保留证据：保存工伤事故现场照片、医疗记录、劳动关系证明等材料，以备后续申领待遇时使用。
     
   • 咨询专业处理：若涉及复杂情况（如保险到期争议、项目转包等），建议进一步提供细节，以便针对性分析。

总结：只要工伤发生在保险有效期内，且已通过劳动保障行政部门认定，即使项目竣工或保险到期，工伤保险基金仍应支付相关待遇。但需注意劳动关系状态及用人单位是否依法履责。如有具体案例或细节需进一步分析，可直接向我提问。