员工在公司打游戏，公司并非一定可以开除该员工，需视具体情况而定。以下从不同角度进行分析：
一、合法开除的情形
根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条的规定，用人单位在以下情况下有权解除劳动合同，即开除员工：
员工严重违反用人单位的规章制度：
- 如果公司的规章制度中明确规定了“工作时间玩游戏属于严重违纪行为”，并且该规章制度已经通过合法程序制定、公示，且员工已知悉，那么员工在工作时间打游戏，公司便有权依据此规定开除员工。
- 关键点：规章制度需合法有效，且员工已知悉。
员工严重失职，给用人单位造成重大损害：
- 如果员工在工作时间打游戏，导致工作任务延误、客户投诉、项目失败等严重后果，给公司造成了重大损失，那么公司也有权开除该员工。
- 关键点：需证明员工行为与损失间存在因果关系，且损失达到“重大”程度。
二、非法开除的情形及后果
如果公司没有明确的规章制度规定“工作时间玩游戏属于严重违纪行为”，或者虽有规定但未依法公示、未告知员工，那么公司直接以“打游戏”为由开除员工，极有可能被认定为违法解除劳动合同。
- 后果：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十七条及相关法律条款，用人单位应当按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的计算方式是按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
三、公司合法处理员工上班打游戏的建议
建立合法合规的规章制度：
- 在《员工手册》或《行为规范》中明确禁止行为，例如“工作时间不得玩游戏”，并设定分级处理机制（如口头警告、书面警告、记过、扣绩效、解除劳动合同等）。
加强日常管理与沟通：
- 明确岗位职责和绩效目标，让员工清楚自己的工作内容和考核标准。
- 定期检查工作进度，通过项目管理工具监控任务完成情况。
- 人性化管理，允许员工在完成任务后适当休息。
发现违规后依法处理：
- 收集证据，确保证据链完整（如电脑屏幕监控录像、电脑使用记录、同事或主管的书面证言等）。
- 与员工进行正式谈话，告知其行为及证据，听取申辩。
- 对屡教不改或情节严重者，依据制度发出《解除劳动合同通知书》，并说明理由。
- 通知工会，并办理离职手续。
四、典型案例分析
- 合法解除案例：某互联网公司员工多次在工作时间玩网络游戏，累计时长超过10小时。公司监控系统记录清晰，且员工已签收《员工手册》，其中明确规定“工作时间玩游戏视为严重违纪”。公司先后发出两次书面警告，员工仍不改正。最终公司解除劳动合同，仲裁委认定公司解除合法，无需赔偿。
- 违法解除案例：某制造企业员工午休时间在工位用手机玩小游戏，被主管发现后直接开除。企业无相关制度规定，也未进行警告。员工申请仲裁，仲裁委认为企业缺乏制度依据和程序正义，裁定解除违法，需支付赔偿金。
总结：员工在公司打游戏，公司并非一定可以开除该员工。是否可以开除，需视员工行为是否构成严重违纪、是否给公司造成重大损失，以及公司是否有合法有效的规章制度作为依据。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。