上班期间打游戏睡觉是否可以开除，需根据具体情况及公司规章制度综合判断，并非一概而论。以下从不同角度进行分析：
一、可以开除的情况
严重违反规章制度：
- 若公司规章制度中明确将上班打游戏、睡觉列为严重违反规章制度的行为，并且该规章制度已经通过民主程序制定（如经职工代表大会或全体职工讨论确定）并向劳动者公示（如发放员工手册、组织培训学习等），则员工上班期间打游戏睡觉属于严重违反单位规章制度。
- 在此情况下，公司有权依据《劳动合同法》第三十九条的规定解除劳动合同，且无需支付经济补偿。
造成重大损失：
- 如果员工上班期间打游戏睡觉不仅违反了公司规章制度，还因此给公司造成了重大损失（如因疏忽导致生产事故、客户流失等），这同样构成了公司可以解除劳动合同的合法理由。
二、不可以随意开除的情况
规章制度无相关规定或制定程序不合法：
- 若公司的规章制度中没有将上班打游戏、睡觉明确规定为严重违纪行为，或者规章制度的制定没有经过民主程序、未向员工公示，那么公司以此为由开除员工可能构成违法解除劳动合同。
- 在此情况下，公司需要承担相应的法律责任，如支付赔偿金等。
情节轻微：
- 即使规章制度中有相关规定，但如果员工只是偶尔、短暂地在上班时间打游戏睡觉，情节显著轻微，并没有给公司的生产经营造成明显影响，公司直接开除员工也可能被认为是滥用解除权。
- 这同样属于违法解除劳动合同，公司需要承担相应的法律责任。
缺乏证据或程序不当：
- 公司在开除员工时，必须确保有充分的证据证明员工存在严重失职或违反规章制度的行为，并且需要遵循法定的程序（如提前通知工会、听取员工申辩等）。
- 如果无法提供证据或程序不当，开除行为同样可能构成违法解除。
三、法律建议
对于公司：
- 在制定规章制度时，应明确将上班打游戏、睡觉等行为列为严重违纪行为，并确保规章制度的制定程序合法、向员工公示。
- 在开除员工前，应确保有充分的证据证明员工存在严重失职或违反规章制度的行为，并遵循法定的程序要求。
对于员工：
- 应遵守公司的规章制度，避免在上班时间进行与工作无关的活动。
- 如果认为公司的开除行为违法，可以依法向劳动争议仲裁机构或人民法院提起诉讼，维护自己的合法权益。
总结来说，上班期间打游戏睡觉是否可以开除，取决于公司的规章制度、员工的行为情节以及公司是否遵循了法定的程序要求。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。