被执行人在执行过程中若认为原判决、裁定存在错误，并希望申请再审，可以遵循以下步骤和注意事项：

一、申请再审的条件

根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，被执行人申请再审需符合以下法定情形之一：

1. 有新的证据：足以推翻原判决、裁定的新证据出现。
2. 证据问题：原判决、裁定认定的基本事实缺乏证据证明，或认定事实的主要证据是伪造的。
3. 法律适用错误：原判决、裁定适用法律确有错误。
4. 程序违法：违反法律规定，剥夺当事人辩论权利，或未经传票传唤缺席判决等。
5. 其他情形：审判人员有贪污受贿、徇私舞弊、枉法裁判行为等。

二、申请再审的期限

申请再审应在判决、裁定发生法律效力后六个月内提出。但存在一些特殊情形，如发现新的证据或原判决、裁定依据的法律文书被撤销等，可能不受此时间限制。

三、申请再审的流程

1. 准备材料：

   • 再审申请书：应写明再审请求、申请再审的事实与理由。
   • 身份证明：被执行人的身份证明文件。
   • 证据材料：包括新证据或证明原判决、裁定错误的证据。
   • 生效裁判文书：原判决、裁定的复印件。

2. 提交申请：

   • 向作出生效裁判的上一级人民法院提出再审申请。
   • 若意图向最高人民法院申请再审，需原案的一审及二审均属最高级别的人民法院进行裁判。

3. 法院审查：

   • 法院会对再审申请进行审查，包括形式审查和实质审查。
   • 形式审查主要检查申请材料是否齐全、符合法定形式。
   • 实质审查则关注申请再审的事实与理由是否充分、证据是否确凿。

4. 裁定再审：

   • 若法院认为再审申请符合条件，会裁定再审，并启动再审程序。
   • 再审程序启动后，原判决、裁定可能会被中止执行（但并非必然，需根据具体情况判断）。

四、注意事项

1. 再审申请不一定获批：再审申请的批准取决于具体证据和法律规定，法院会进行严格审查。
2. 积极应对执行：在申请再审期间，被执行人仍需履行原判决、裁定确定的义务（除非法院裁定中止执行）。
3. 寻求专业帮助：申请再审涉及复杂的法律程序和证据规则，建议寻求专业律师的帮助。

五、示例

假设被执行人张某因一起合同纠纷案被法院判决赔偿李某一定金额。张某认为原判决存在事实认定错误，并发现了新的证据。张某可以在判决生效后六个月内，向作出生效裁判的上一级人民法院提交再审申请书、身份证明、新证据及生效裁判文书等材料，申请再审。法院会对张某的再审申请进行审查，若认为符合条件，会裁定再审。

总之，被执行人申请再审需符合法定情形，并在规定期限内提交相关材料。申请过程中应积极应对执行，并寻求专业帮助以提高再审申请的成功率。