在执行案件中，关于是否可以申请再审以及申请再审的具体情形，这是一个涉及法律程序与当事人权益保护的重要问题。以下是对此问题的详细解答：

一、再审的基本概念与适用条件

再审程序是针对已经发生法律效力的判决、裁定或调解书，在特定情形下由法院重新审理的程序。其核心目的在于纠正原裁判中的错误，保障当事人的合法权益。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，当事人对已经发生法律效力的判决、裁定认为有错误时，可以向上一级人民法院申请再审。

二、执行阶段申请再审的特殊性

在执行阶段，案件的核心任务是强制义务人履行义务，实现生效法律文书确定的权利义务。因此，执行阶段本身并不直接涉及对原裁判文书正确性的审查。然而，这并不意味着被执行人在执行阶段完全无法寻求再审救济。关键在于，被执行人需要满足再审的适用条件，并通过合法途径提出再审申请。

三、可以申请再审的具体情形

1. 新的证据足以推翻原判决、裁定：

   • 如果被执行人能够提供原审庭审结束后新发现的证据，且这些证据如果在原审中出现极有可能改变原判决、裁定的结果，那么被执行人可以依法申请再审。

2. 原判决、裁定认定事实的主要证据有问题：

   • 这包括主要证据不足或缺乏证据证明、主要证据未经质证、主要证据是伪造的等情形。如果被执行人能够证明原判决、裁定在事实认定上存在上述问题，那么可以申请再审。

3. 原判决、裁定适用法律确有错误：

   • 如果原判决、裁定在适用法律上存在明显错误，如适用的法律与案件性质明显不符、法律条款适用错误、违反法律溯及力规定等，被执行人也可以申请再审。

4. 违反法律规定的诉讼程序：

   • 这包括审判组织的组成不合法、剥夺当事人辩论权利、未经传票传唤缺席判决等情形。如果被执行人能够证明原判决、裁定在诉讼程序上存在上述违法情形，那么可以申请再审。

5. 其他特定情形：

   • 这包括不予立案或驳回起诉确有错误、原判决、裁定遗漏诉讼请求、据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或变更、审判人员存在违法行为等情形。此外，对于已经发生法律效力的调解书，如果调解违反自愿原则或内容违反法律，被执行人也可以申请再审。

四、申请再审的注意事项

1. 时效限制：

   • 申请再审应当在判决、裁定或调解书发生法律效力后的六个月内提出。逾期申请可能被驳回。

2. 提交材料：

   • 申请再审时，需要提交书面再审申请书，并附上相关证据材料以支持再审请求。

3. 执行不停止：

   • 申请再审并不停止原判决、裁定的执行。除非法院另有裁定，否则执行程序将继续进行。

五、执行阶段被执行人的合法救济措施

虽然被执行人在执行阶段不能直接申请再审以改变原判决、裁定，但可以通过以下合法途径寻求救济：

1. 提出执行异议：

   • 当执行行为违反法律规定时，被执行人可向执行法院提出书面异议。

2. 申请复议：

   • 对执行异议裁定不服的，被执行人可在收到裁定书之日起十日内向上一级人民法院申请复议。

3. 启动审判监督程序：

   • 通过提交新证据、证明原裁判适用法律错误等方式，依法向法院申请再审。这通常需要在执行程序之外，通过审判监督程序来实现。

综上所述，执行案件中的被执行人在满足特定条件时可以申请再审。然而，由于执行阶段的特殊性，被执行人应仔细审查原判决、裁定或调解书是否存在错误或违法情形，并在规定的时间内按照法定程序提出申请。同时，被执行人也可以考虑通过提出执行异议、申请复议等合法途径来寻求救济。