公司是否有权要求员工病假出具几级医院的证明，需分情况讨论：
公司规章制度有明确规定时
- 若公司规章制度中明确规定了病假证明需由特定级别（如三甲医院）的医疗机构出具，且该规章制度不违反法律法规的强制性规定，同时已通过民主程序制定并向员工公示，那么公司有权要求员工提供相应级别的医院证明。这是因为，根据《中华人民共和国劳动合同法》第四条，用人单位在制定、修改或者决定有关劳动报酬、工作时间、休息休假等直接涉及劳动者切身利益的规章制度时，应当经职工代表大会或者全体职工讨论，提出方案和意见，与工会或者职工代表平等协商确定，并将规章制度公示或告知劳动者。在此前提下，公司对病假证明的要求具有合法性基础。
公司规章制度无明确规定或规定不合理时
- 若公司规章制度未对病假证明的医疗机构级别作出明确规定，或者规定的级别过高（如强制要求所有病假均需三甲医院证明），则可能显得不合理。对于轻微疾病，如普通感冒，若强制要求员工必须提供三甲医院的证明，不仅增加了员工的负担，也可能违反了公平、合理的原则。在此情况下，员工选择社区医院等合理途径就诊并获取的证明，公司应予认可。
法律法规的普遍要求
- 从法律法规的角度来看，劳动法并未强制要求病假证明必须由特定级别的医院出具。根据《关于加强企业伤病长休职工管理工作的通知》等规定，职工因伤病需要休假的，应凭企业医疗机构或指定医院开具的疾病诊断证明，并由企业审核批准。这里并未明确要求必须是三级甲等医院。因此，是否需要特定级别的医院证明，应根据用人单位的具体规定和实际情况来判断。
建议与注意事项：
- 公司角度：公司在制定病假管理制度时，应确保规定的合理性和公正性，避免过度限制员工的请假权利。对于不合理的请假证明要求，应及时进行修订和完善。
- 员工角度：员工在生病需要请假时，应积极配合公司的规定，前往正规医疗机构就诊并获取相应的证明。同时，应保留好病历、诊断证明、检查报告等相关材料以备不时之需。若公司行为侵犯了员工的合法权益，员工可向劳动监察部门投诉或通过劳动仲裁等法律途径维护自己的权益。
如有其他疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。