结论：公司和员工在合同到期一月后都未提及续签，并不意味着员工可以随时离职而不承担任何责任。员工离职仍需遵循一定的法律程序和规定，否则可能面临法律风险。
分析：
合同到期后的法律状态：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满后，除非双方协商一致续签，否则劳动合同即行终止。但终止并不意味着员工可以立即无条件离职。
员工离职的法定程序：
- 即使劳动合同已经到期，员工在离职时仍应遵循一定的程序，如提前通知用人单位、办理工作交接等。这是为了保障用人单位的正常运营和员工的合法权益。
- 如果员工未按照法定程序离职，可能会给用人单位造成损失，员工可能需要承担相应的赔偿责任。
未续签合同后的劳动关系：
- 合同到期后，如果双方都未提及续签，但员工继续在用人单位工作，这可能会形成事实上的劳动关系。在这种情况下，员工仍然需要遵守用人单位的规章制度，并履行相应的劳动义务。
- 如果员工希望离职，应与用人单位协商一致，并按照协商的结果办理离职手续。
法律风险与建议：
- 员工在合同到期后未续签的情况下随意离职，可能会面临用人单位的追责，如要求赔偿因员工擅自离职而造成的损失。
- 因此，建议员工在合同到期后，如果希望离职，应与用人单位进行沟通，明确离职的时间和方式，并按照法定程序办理离职手续。
具体建议：
- 与用人单位沟通：员工应主动与用人单位沟通，了解合同到期后的相关安排，并表达自己的离职意愿。
- 遵循法定程序：员工在离职时，应遵循《中华人民共和国劳动合同法》等相关法律法规的规定，提前通知用人单位、办理工作交接等。
- 保留相关证据：员工在离职过程中，应保留好与用人单位的沟通记录、工作交接单等相关证据，以备不时之需。
后续行动：
- 如果员工已经决定离职，但尚未与用人单位沟通或办理离职手续，建议尽快与用人单位取得联系，并按照法定程序办理离职。
- 如果员工在离职过程中遇到任何问题或纠纷，可以及时向我咨询，我将根据具体情况提供法律建议和帮助。
总之，合同到期后员工并不能随意离职而不承担任何责任。员工在离职时应遵循法定程序和规定，以保障自己的合法权益并避免不必要的法律风险。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。