针对您提出的“非工伤延长医疗期向哪个部门申请”的问题，以下是我的详细解答：

首先，需要明确的是，非工伤的医疗期延长与工伤的停工留薪期延长在申请流程和受理部门上可能存在差异。对于非工伤情况下的医疗期延长申请，通常并不直接涉及劳动能力鉴定委员会，因为劳动能力鉴定委员会主要处理的是与工伤相关的劳动能力鉴定事宜。

在非工伤的情况下，如果您需要延长医疗期，一般应首先向您的用人单位提出申请。您需要准备相关的医疗证明材料，如医生的诊断书、治疗建议等，以证明您确实需要延长医疗期。在提交申请时，请确保您的申请是书面的，并且包含了所有必要的医疗证明材料。

用人单位在收到您的申请后，会根据公司的相关规定和您的实际情况进行审核。如果用人单位同意延长您的医疗期，那么您就可以按照新的医疗期进行休假。如果用人单位对您的申请有异议，或者需要进一步了解您的病情，他们可能会要求您提供更多的医疗证明材料，或者安排您进行进一步的医疗检查。

此外，虽然《劳动能力鉴定管理办法》主要规范的是工伤职工和因病或非因工致残人员的劳动能力鉴定，但它也体现了对劳动者权益的保护和对便民服务的重视。在实际操作中，如果用人单位在处理非工伤医疗期延长申请时存在疑问或需要指导，也可以咨询当地的劳动保障部门或人力资源社会保障局，以获取更具体的指导和帮助。

总的来说，非工伤延长医疗期的申请应首先向用人单位提出，并准备相关的医疗证明材料。用人单位会根据公司的相关规定和您的实际情况进行审核，并作出相应的决定。如有需要，也可以咨询当地的劳动保障部门或人力资源社会保障局以获取更具体的指导和帮助。