针对您提出的“上班期间突发中暑导致脑梗经抢救未死亡的公司应承担责任吗”这一问题，以下是我的详细解答：
工伤认定角度：
- 根据《工伤保险条例》的相关规定，职工在工作时间和工作场所内，因工作原因受到事故伤害或突发疾病在48小时内经抢救无效死亡的，应当认定为工伤。但在此案例中，员工虽然是在上班期间突发中暑导致脑梗，且经抢救未死亡，因此是否构成工伤需具体分析。
- 如果能够证明中暑及脑梗的发作与工作环境、工作强度等因素有直接关系，且满足工伤评定的其他条件（如工作过程中突发疾病等），那么有可能被认定为工伤。在此情况下，公司应承担相应的责任，包括工伤保险基金的补偿（如果公司已为员工缴纳工伤保险）或公司自身的赔偿（如果公司未为员工缴纳工伤保险）。
公司责任角度：
- 即便脑梗未被认定为工伤，公司仍需依照相关法律法规向员工提供一定时间长度的医疗假期，并在医疗期内支付病假工资以及缴纳社会保险费用等。这是公司作为雇主的基本义务。
- 如果公司未按规定为员工缴纳医疗保险或工伤保险，那么在员工突发疾病需要治疗的情况下，公司可能需要承担全部的医疗费用和其他相关赔偿义务。
法律建议：
- 建议您尽快收集并妥善保存相关证据，如工作记录、就医诊断报告、医疗费用单据等，以备未来可能涉及到的法律维权之需。
- 如果您认为公司在此事件中存在过错或未履行应尽的义务，可以向当地的劳动仲裁部门或法院提起诉讼进行维权。在此过程中，如有需要，可以随时向我咨询相关法律问题。
综上所述，公司是否应承担责任需根据具体情况进行判断。如果能够证明中暑及脑梗的发作与工作有直接关系且满足工伤评定的条件，那么公司应承担相应的责任；即便未被认定为工伤，公司也需履行作为雇主的基本义务。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。