结论：私生子（即非婚生子女）与婚生子女享有同等的继承权。如果女方生下私生子，该孩子在其父亲去世后，有权依法继承其父亲的遗产。

详细分析：

1. 法律地位：

   • 根据我国《民法典》的相关规定，非婚生子女与婚生子女在法律上享有同等的地位，这意味着他们在继承权、受教育权、被抚养权等方面都受到相同的法律保护。

2. 继承权：

   • 非婚生子女作为其父亲的直系血亲，在其父亲去世后，有权作为第一顺序继承人参与遗产的分配。这一权利并不因其出生时的婚姻状况而受到影响。
   • 遗产的分配将遵循法定继承或遗嘱继承的原则。如果父亲没有留下遗嘱，那么遗产将按照法定继承的顺序和比例进行分配，非婚生子女将与其他第一顺序继承人（如配偶、婚生子女等）共同继承遗产。

3. 实际操作：

   • 在实际操作中，如果非婚生子女的继承权受到侵害，他们可以通过法律途径来维护自己的权益。例如，可以向法院提起诉讼，要求确认其继承权并分割遗产。

4. 建议：

   • 对于女方而言，如果决定生下私生子，应当了解并保护孩子的合法权益，包括继承权。在可能的情况下，可以与男方协商，就孩子的抚养、教育以及未来的财产安排等问题达成一致。
   • 如果男方对孩子的存在或继承权表示否认或拒绝承担责任，女方可以寻求法律援助，通过法律途径来维护自己和孩子的权益。

总结：私生子（非婚生子女）在法律上享有与婚生子女同等的继承权。如果女方生下私生子，该孩子在其父亲去世后有权依法继承其父亲的遗产。在面临相关问题时，建议女方及时咨询专业律师，了解并保护自己和孩子的合法权益。如果有任何法律问题，都可以直接向我咨询。