私生子在法律上是合法的，且具备遗产继承权。

详细分析如下：

1. 法律依据：

   • 《中华人民共和国民法典》第一千一百二十七条明确规定，遗产的第一顺序继承人包括配偶、子女、父母，其中“子女”涵盖了非婚生子女（即私生子），与婚生子女享有同等的法律地位。
   • 同时，《中华人民共和国民法典》第一千零七十一条也强调，非婚生子女享有与婚生子女同等的权利，任何组织或者个人不得加以危害和歧视。

2. 继承权的实现：

   • 在法定继承中，私生子作为第一顺序继承人，有权与其他继承人共同参与遗产的分配，且继承份额一般应当均等。
   • 如果存在遗嘱，且遗嘱中明确指定了私生子为继承人，或者虽未明确指定但按照法律规定其应继承，那么私生子也有权继承相应的遗产份额。

3. 实际案例：

   • 在司法实践中，私生子继承遗产的案例屡见不鲜。例如，某人生父去世且生前未立遗嘱，其私生子就有权与婚生子女等其他第一顺序继承人共同继承生父的遗产。

综上所述，私生子在法律上是合法的，且明确享有对遗产的继承权。这一权利受到法律的严格保护，任何组织或个人都不得侵害或剥夺。如果你在这方面有具体的法律问题或需要进一步的帮助，可以直接向我咨询。